Diezgan bieži matemātikas zinātnē ir vairākas grūtības un jautājumi, un daudzas atbildes ne vienmēr ir skaidras. Izņēmums nebija tāda tēma kā komplektu kardinalitāte. Faktiski tas nav nekas vairāk kā objektu skaita skaitliska izteiksme. Vispārīgā nozīmē kopa ir aksioma; tai nav definīcijas. Tā pamatā ir jebkuri objekti vai drīzāk to kopa, kas var būt tukša, ierobežota vai bezgalīga. Turklāt tajā ir veseli skaitļi vai naturāli skaitļi, matricas, secības, segmenti un līnijas.
Par esošajiem mainīgajiem
Nulles vai tukša kopa bez iekšējās vērtības tiek uzskatīta par kardinālu elementu, jo tā ir apakškopa. Netukšas kopas S visu apakškopu kolekcija ir kopu kopa. Tādējādi dotās kopas jaudas kopa tiek uzskatīta par daudzu, iedomājamu, bet vienu. Šo kopu sauc par S pakāpju kopu un apzīmē ar P (S). Ja S satur N elementus, tad P(S) satur 2^n apakškopas, jo P(S) apakškopa ir vai nu ∅, vai apakškopa, kas satur r elementus no S, r=1, 2, 3, … Sastāv no visa bezgalīgā.kopu M sauc par jaudas lielumu un simboliski apzīmē ar P (M).
Kopu teorijas elementi
Šo zināšanu jomu izstrādāja Džordžs Kantors (1845-1918). Mūsdienās to izmanto gandrīz visās matemātikas nozarēs un kalpo kā tās galvenā sastāvdaļa. Kopu teorijā elementi tiek attēloti saraksta veidā un tiek doti pēc veidiem (tukša kopa, vienvirziena, galīgas un bezgalīgas kopas, vienāda un ekvivalenta, universāla), savienība, krustojums, atšķirība un skaitļu saskaitīšana. Ikdienā mēs bieži runājam par objektu kolekciju, piemēram, atslēgu saišķi, putnu ganāmpulku, kāršu paku utt. Matemātikas 5. klasē un vēlāk ir naturālie, veseli skaitļi, pirmskaitļi un saliktie skaitļi.
Var apsvērt šādus komplektus:
- dabiski skaitļi;
- alfabēta burti;
- primārās izredzes;
- trijstūri ar dažādām malām.
Var redzēt, ka šie norādītie piemēri ir labi definētas objektu kopas. Apsveriet vēl dažus piemērus:
- pieci slavenākie zinātnieki pasaulē;
- septiņas skaistas meitenes sabiedrībā;
- trīs labākie ķirurgi.
Šie kardinalitātes piemēri nav precīzi definētas objektu kolekcijas, jo kritēriji "slavenākajam", "skaistākajam", "labākajam" katram cilvēkam ir atšķirīgi.
Komplekti
Šī vērtība ir precīzi definēts dažādu objektu skaits. Pieņemot, ka:
- vārdu kopa ir sinonīms, apkopojums, klase un satur elementus;
- objekti, dalībnieki ir vienādi termini;
- kopas parasti tiek apzīmētas ar lielajiem burtiem A, B, C;
- kopas elementi tiek apzīmēti ar maziem burtiem a, b, c.
Ja "a" ir kopas A elements, tad saka, ka "a" pieder pie A. Apzīmēsim frāzi "pieder" ar grieķu rakstzīmi "∈" (epsilon). Tādējādi izrādās, ka a ∈ A. Ja 'b' ir elements, kas nepieder pie A, tas tiek attēlots kā b ∉ A. Dažas svarīgas kopas, ko izmanto 5. klases matemātikā, tiek attēlotas, izmantojot trīs šādas metodes:
- pieteikumi;
- reģistri vai tabula;
- noteikums veidojuma izveidei.
Sīkāk pārbaudot, pieteikuma veidlapa ir balstīta uz sekojošo. Šajā gadījumā tiek sniegts skaidrs komplekta elementu apraksts. Tie visi ir ietverti cirtainos lencēs. Piemēram:
- nepāra skaitļu kopa, kas mazāka par 7 - rakstīta kā {mazāk nekā 7};
- skaitļu kopa, kas lielāka par 30 un mazāka par 55;
- skolēnu skaits klasē, kas sver vairāk nekā skolotājs.
Reģistra (tabulas) formā kopas elementi ir norādīti iekavās {} un atdalīti ar komatiem. Piemēram:
- Apzīmēsim N pirmo piecu naturālo skaitļu kopu. Tāpēc N=→ reģistrācijas forma
- Visu angļu alfabēta patskaņu kopa. Tādējādi V={a, e, i, o, u, y} → reģistrācijas forma
- Visu nepāra skaitļu kopa ir mazāka par 9. Tāpēc X={1, 3, 5, 7} → formareģistrs
- Visu burtu kopa vārdā "Math". Tāpēc Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Reģistra veidlapa
- W ir gada pēdējo četru mēnešu kopa. Tāpēc W={septembris, oktobris, novembris, decembris} → reģistrs.
Ņemiet vērā, ka elementu saraksta secībai nav nozīmes, taču tos nedrīkst atkārtot. Noteikta konstrukcijas forma, konkrētā gadījumā noteikums, formula vai operators ir ierakstīts iekavās, lai kopa būtu pareizi definēta. Kopas veidotāja veidlapā visiem elementiem ir jābūt vienādiem rekvizītiem, lai tie kļūtu par attiecīgās vērtības dalībnieku.
Šajā kopas attēlojuma formā kopas elements ir aprakstīts ar rakstzīmi "x" vai jebkuru citu mainīgo, kam seko kols (lai norādītu, tiek izmantots ":" vai "|". Piemēram, pieņemsim, ka P ir saskaitāmo skaitļu kopa, kas lielāka par 12. P kopas veidotāja formā tiek rakstīts kā - {skaitāms skaitlis un lielāks par 12}. Tas tiks lasīts noteiktā veidā. Tas ir, "P ir x elementu kopa, kurā x ir saskaitāms un lielāks par 12."
Atrisināts piemērs, izmantojot trīs kopu attēlošanas metodes: veselu skaitļu skaits no -2 līdz 3. Tālāk ir sniegti dažādu veidu kopu piemēri:
- Tukša vai nulles kopa, kas nesatur nevienu elementu un ir apzīmēta ar simbolu ∅ un tiek lasīta kā phi. Saraksta formā ∅ ir rakstīts {}. Galīgā kopa ir tukša, jo elementu skaits ir 0. Piemēram, veselu skaitļu vērtību kopa ir mazāka par 0.
- Acīmredzot nedrīkst būt <0. Tāpēc šistukšs komplekts.
- Kopa, kurā ir tikai viens mainīgais, tiek saukta par viengabala kopu. Nav ne vienkāršs, ne salikts.
Ierobežots komplekts
Kopu, kurā ir noteikts skaits elementu, sauc par galīgu vai bezgalīgu kopu. Tukšs attiecas uz pirmo. Piemēram, visu varavīksnes krāsu kopa.
Bezgalība ir komplekts. Tajā esošos elementus nevar uzskaitīt. Tas ir, līdzīgu mainīgo lielumu saturēšanu sauc par bezgalīgu kopu. Piemēri:
- visu plaknes punktu kopas jauda;
- visu pirmskaitļu kopa.
Bet jums vajadzētu saprast, ka visas kopas savienības kardinalitātes nevar izteikt saraksta formā. Piemēram, reāli skaitļi, jo to elementi neatbilst nevienam noteiktam modelim.
Kopas kardinālais skaitlis ir dažādu elementu skaits noteiktā daudzumā A. To apzīmē ar n (A).
Piemēram:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Tāpēc n (A)=4.
- B=burtu kopa vārdā ALGEBRA.
Ekvivalenti komplekti kopu salīdzināšanai
Divas kopas A un B kardinalitātes ir tādas, ja to kardinālais skaitlis ir vienāds. Līdzvērtīgas kopas simbols ir "↔". Piemēram: A ↔ B.
Vienādas kopas: divas kopu A un B kardinalitātes, ja tajās ir vienādi elementi. Katrs koeficients no A ir mainīgais no B, un katrs no B ir norādītā A vērtība. Tāpēc A=B. Dažādie kardinālo savienību veidi un to definīcijas ir izskaidrotas, izmantojot sniegtos piemērus.
Ierobežotības un bezgalības būtība
Kādas ir atšķirības starp ierobežotas kopas un bezgalīgas kopas kardinalitāti?
Pirmajai vērtībai ir šāds nosaukums, ja tā ir tukša vai tai ir ierobežots elementu skaits. Ierobežotā kopā mainīgo var norādīt, ja tam ir ierobežots skaits. Piemēram, izmantojot naturālo skaitli 1, 2, 3. Un uzskaitīšanas process beidzas pie kāda N. Dažādo elementu skaits, kas saskaitīts galīgajā kopā S, tiek apzīmēts ar n (S). To sauc arī par kārtību vai kardinālu. Simboliski apzīmēts pēc standarta principa. Tādējādi, ja kopa S ir krievu alfabēts, tad tajā ir 33 elementi. Ir arī svarīgi atcerēties, ka elements komplektā neparādās vairāk kā vienu reizi.
Bezgalīgs komplektā
Kopu sauc par bezgalīgu, ja elementus nevar uzskaitīt. Ja tai ir neierobežots (tas ir, neskaitāms) naturāls skaitlis 1, 2, 3, 4 jebkuram n. Kopu, kas nav galīga, sauc par bezgalīgu. Tagad mēs varam apspriest aplūkojamo skaitlisko vērtību piemērus. Beigu vērtību opcijas:
- Ļaujiet Q={dabiski skaitļi, kas mazāki par 25}. Tad Q ir ierobežota kopa un n (P)=24.
- Ļaujiet R={veseli skaitļi no 5 līdz 45}. Tad R ir ierobežota kopa un n (R)=38.
- Ļaujiet S={skaitļi modulo 9}. Tad S={-9, 9} ir ierobežota kopa, un n (S)=2.
- Visu cilvēku komplekts.
- Visu putnu skaits.
Bezgalīgi piemēri:
- esošo punktu skaits lidmašīnā;
- visu punktu skaits līnijas segmentā;
- pozitīvo veselo skaitļu kopa, kas dalās ar 3, ir bezgalīga;
- visi veselie un naturālie skaitļi.
Tādējādi no iepriekš minētā sprieduma ir skaidrs, kā atšķirt ierobežotas kopas no bezgalīgas kopas.
Nepārtrauktības kopas jauda
Ja salīdzinām kopu un citas esošās vērtības, tad komplektam tiek pievienots papildinājums. Ja ξ ir universāls un A ir ξ apakškopa, tad A papildinājums ir visu ξ elementu skaits, kas nav A elementi. Simboliski A papildinājums attiecībā pret ξ ir A'. Piemēram, 2, 4, 5, 6 ir vienīgie ξ elementi, kas nepieder pie A. Tāpēc A'={2, 4, 5, 6}
Komplektam ar kardinalitātes kontinuumu ir šādas funkcijas:
- universālā daudzuma papildinājums ir attiecīgā tukšā vērtība;
- šis nulles kopas mainīgais ir universāls;
- summa un tās papildinājums nav saistīti.
Piemēram:
- Lai naturālo skaitļu skaits ir universāla kopa, bet A pāra. Tad A '{x: x ir nepāra kopa ar vienādiem cipariem}.
- Ļaujiet ξ=alfabēta burtu kopa. A=līdzskaņu kopa. Tad A '=patskaņu skaits.
- Universālā komplekta papildinājums ir tukšais daudzums. Var apzīmēt ar ξ. Tad ξ '=To elementu kopa, kas nav iekļauti ξ. Tukšo kopu φ raksta un apzīmē. Tāpēc ξ=φ. Tādējādi universālā komplekta papildinājums ir tukšs.
Matemātikā "kontinuums" dažreiz tiek izmantots, lai attēlotu reālu līniju. Un vispārīgāk, lai aprakstītu līdzīgus objektus:
- kontinuums (kopu teorijā) - reāla līnija vai atbilstošs kardināls skaitlis;
- lineārs - jebkura sakārtota kopa, kurai ir noteiktas reālas līnijas īpašības;
- kontinuums (topoloģijā) - netukša kompakta savienota metriskā telpa (dažreiz Hausdorfs);
- hipotēze, ka neviena bezgalīga kopa nav lielāka par veseliem skaitļiem, bet mazāka par reāliem skaitļiem;
- kontinuuma pakāpe ir kardināls skaitlis, kas apzīmē reālo skaitļu kopas lielumu.
Būtībā kontinuums (mērījumi), teorijas vai modeļi, kas izskaidro pakāpenisku pāreju no viena stāvokļa uz otru bez pēkšņām izmaiņām.
Savienojuma un krustojuma problēmas
Ir zināms, ka divu vai vairāku kopu krustpunkts ir skaitlis, kas satur visus šajās vērtībās kopīgos elementus. Vārdu uzdevumi par kopām tiek risināti, lai gūtu pamatidejas par kopu savienojuma un krustojuma īpašību izmantošanu. Atrisināja galvenās vārdu problēmaskomplekti izskatās šādi:
Lai A un B ir divas galīgas kopas. Tie ir tādi, ka n (A)=20, n (B)=28 un n (A ∪ B)=36, atrodiet n (A ∩ B)
Attiecības komplektos, izmantojot Venna diagrammu:
- Divu kopu savienību var attēlot ar iekrāsotu apgabalu, kas attēlo A ∪ B. A ∪ B, ja A un B ir nesavienotas kopas.
- Divu kopu krustpunktu var attēlot ar Venna diagrammu. Ar ēnotu apgabalu, kas apzīmē A ∩ B.
- Atšķirību starp abām kopām var attēlot ar Venna diagrammām. Ar ēnotu apgabalu, kas apzīmē A–B.
- Attiecības starp trim kopām, izmantojot Venna diagrammu. Ja ξ apzīmē universālu lielumu, tad A, B, C ir trīs apakškopas. Šeit visas trīs kopas pārklājas.
Komplekta informācijas apkopošana
Kopas kardinalitāte ir definēta kā kopas atsevišķu elementu kopējais skaits. Un pēdējā norādītā vērtība ir aprakstīta kā visu apakškopu skaits. Izpētot šādus jautājumus, ir nepieciešamas metodes, metodes un risinājumi. Tātad, lai noteiktu kopas kardinalitāti, šādi piemēri var kalpot kā:
Ļaujiet A={0, 1, 2, 3}| |=4, kur | A | apzīmē kopas A kardinalitāti.
Tagad varat atrast savu barošanas bloku. Tas ir arī diezgan vienkārši. Kā jau minēts, jaudas kopa tiek iestatīta no visām noteiktā skaitļa apakškopām. Tātad būtībā vajadzētu definēt visus A mainīgos, elementus un citas vērtības,kas ir {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Tagad aprēķina P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}}, kurā ir 16 elementi. Tādējādi kopas A kardinalitāte=16. Acīmredzot šī ir nogurdinoša un apgrūtinoša metode šīs problēmas risināšanai. Tomēr ir vienkārša formula, pēc kuras jūs varat tieši uzzināt elementu skaitu noteiktā skaitļa pakāpju kopā. | P |=2 ^ N, kur N ir elementu skaits kādā A. Šo formulu var iegūt, izmantojot vienkāršu kombinatoriku. Tātad jautājums ir 2^11, jo elementu skaits komplektā A ir 11.
Tātad, kopa ir jebkurš skaitliski izteikts lielums, kas var būt jebkurš iespējamais objekts. Piemēram, automašīnas, cilvēki, numuri. Matemātiskā nozīmē šis jēdziens ir plašāks un vispārīgāks. Ja sākumposmā skaitļi un to risinājuma varianti ir sakārtoti, tad vidējā un augstākās stadijās nosacījumi un uzdevumi ir sarežģīti. Faktiski kopas savienības kardinalitāti nosaka objekta piederība jebkurai grupai. Tas nozīmē, ka viens elements pieder klasei, bet tam ir viens vai vairāki mainīgie.
