Maclaurin sērija un dažu funkciju paplašināšana

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 05:35

Augstākās matemātikas studentiem jāapzinās, ka dažu pakāpju rindu summa, kas pieder pie dotās rindas konverģences intervāla, izrādās nepārtraukta un neierobežota reižu skaita diferencēta funkcija. Rodas jautājums: vai ir iespējams apgalvot, ka dotā patvaļīgā funkcija f(x) ir kādas pakāpes rindas summa? Tas ir, kādos apstākļos funkciju f(x) var attēlot ar pakāpju virkni? Šī jautājuma nozīmīgums slēpjas faktā, ka funkciju f(x) iespējams aptuveni aizstāt ar pakāpju rindas dažu pirmo vārdu summu, tas ir, ar polinomu. Šāda funkcijas aizstāšana ar diezgan vienkāršu izteiksmi - polinomu - ir ērta arī, risinot dažus matemātiskās analīzes uzdevumus, proti: risinot integrāļus, aprēķinot diferenciālvienādojumus utt.

Ir pierādīts, ka kādai funkcijai f(х), kur apkārtnē var aprēķināt atvasinājumus līdz (n+1) kārtas, ieskaitot pēdējo (α _{- R; x}0 _{+ R) no kāda punkta x=α formula ir derīga:}

Šī formula ir nosaukta slavenā zinātnieka Brūka Teilora vārdā. Sēriju, kas iegūta no iepriekšējās, sauc par Maclaurin sēriju:

Noteikums, kas ļauj paplašināt Maclaurin sēriju:

1. Nosakiet pirmās, otrās, trešās… kārtas atvasinājumus.
2. Aprēķiniet, ar ko ir vienādi atvasinājumi pie x=0.
3. Ierakstiet šīs funkcijas Maklarīna sēriju un pēc tam nosakiet tās konverģences intervālu.
4. Nosakiet intervālu (-R;R), kur Maklarīna formulas atlikums

R (x) -> 0 n -> bezgalībai. Ja tāda eksistē, funkcijai f(x) tajā jāsakrīt ar Maklarīna sērijas summu.

Tagad apsveriet Maclaurin sēriju atsevišķām funkcijām.

1. Tātad pirmais būs f(x)=e^x. Protams, pēc tā pazīmēm šādai funkcijai ir dažādu secību atvasinājumi, un f^(k)(x)=e^x, kur k ir vienāds ar visu naturālie skaitļi. Aizstāsim x=0. Mēs iegūstam f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{izskatītos šādi:}

2. Maklarīna sērija funkcijai f(x)=sin x. Nekavējoties noskaidrojiet, ka funkcijai visiem nezināmajiem būs atvasinājumi, papildus f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=grēks(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), kur k ir vienāds ar jebkuru naturālu skaitli. Tas ir, pēc vienkāršu aprēķinu veikšanas mēs varam secināt, ka sērija f(x)=sin x izskatīsies šādi:}

3. Tagad mēģināsim apsvērt funkciju f(x)=cos x. Viņa ir par visu nezināmoir patvaļīgas secības atvasinājumi, un |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Atkal, veicot dažus aprēķinus, mēs iegūstam, ka f(x)=cos x sērija izskatīsies šādi:

Tātad, mēs esam uzskaitījuši svarīgākās funkcijas, kuras var paplašināt Maclaurin sērijā, taču dažām funkcijām tās ir papildinātas ar Taylor sēriju. Tagad mēs tos uzskaitīsim. Ir arī vērts atzīmēt, ka Teilora un Maklarīna sērijas ir svarīga daļa no prakses rindu risināšanā augstākajā matemātikā. Tātad, Teilora sērija.

1. Pirmā būs virkne f-ii f(x)=ln(1+x). Tāpat kā iepriekšējos piemēros, ņemot vērā f (x)=ln (1 + x), mēs varam pievienot sēriju, izmantojot vispārējo Maklaurina sērijas formu. tomēr šai funkcijai Maclaurin sēriju var iegūt daudz vienkāršāk. Pēc noteiktas ģeometriskas sērijas integrēšanas mēs iegūstam šī parauga sēriju f(x)=ln(1+x):

2. Un otrais, kas mūsu rakstā būs galīgs, būs sērija f (x) u003d arctg x. Attiecībā uz x, kas pieder intervālam [-1;1], paplašinājums ir derīgs:

Tas ir viss. Šajā rakstā tika aplūkotas visbiežāk izmantotās Teilora un Maklaurina sērijas augstākajā matemātikā, jo īpaši ekonomikas un tehniskajās universitātēs.