Īpaša vieta ir vienādojumu risināšanai matemātikā. Pirms šī procesa ir daudzu stundu ilgas teorijas apguve, kuras laikā students apgūst, kā atrisināt vienādojumus, noteikt to formu un novest prasmi līdz pilnīgai automatizācijai. Tomēr sakņu meklēšana ne vienmēr ir jēga, jo tās var vienkārši nebūt. Ir īpašas metodes sakņu atrašanai. Šajā rakstā mēs analizēsim galvenās funkcijas, to darbības jomu, kā arī gadījumus, kad to sakņu nav.
Kuram vienādojumam nav sakņu?
Vienādojumam nav sakņu, ja nav tādu reālu argumentu x, kuriem vienādojums ir identiski patiess. Nespeciālistam šis formulējums, tāpat kā vairums matemātisko teorēmu un formulu, izskatās ļoti neskaidrs un abstrakts, bet tas ir teorētiski. Praksē viss kļūst ārkārtīgi vienkāršs. Piemēram: vienādojumam 0x=-53 nav atrisinājuma, jo nav tāda skaitļa x, kura reizinājums ar nulli dotu kaut ko citu, nevis nulle.
Tagad apskatīsim visvienkāršākos vienādojumu veidus.
1. Lineārais vienādojums
Vienādojumu sauc par lineāru, ja tā labā un kreisā daļa ir attēlota kā lineāras funkcijas: ax + b=cx + d vai vispārinātā formā kx + b=0. Kur ir zināmi a, b, c, d skaitļi, un x ir nezināms lielums. Kuram vienādojumam nav sakņu? Lineāro vienādojumu piemēri ir parādīti zemāk esošajā ilustrācijā.
Pamatā lineāros vienādojumus risina, vienkārši pārvietojot skaitļa daļu uz vienu daļu un x saturu uz otru. Izrādās vienādojums ar formu mx \u003d n, kur m un n ir skaitļi, un x ir nezināms. Lai atrastu x, pietiek abas daļas dalīt ar m. Tad x=n/m. Būtībā lineārajiem vienādojumiem ir tikai viena sakne, bet ir gadījumi, kad sakņu ir bezgalīgi daudz vai vispār nav. Ja m=0 un n=0, vienādojuma forma ir 0x=0. Pilnīgi jebkurš skaitlis būs šāda vienādojuma risinājums.
Bet kuram vienādojumam nav sakņu?
Ja m=0 un n=0, vienādojumam nav sakņu no reālo skaitļu kopas. 0x=-1; 0x=200 - šiem vienādojumiem nav sakņu.
2. Kvadrātvienādojums
Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu ax2 + bx + c=0, ja a=0. Visizplatītākais kvadrātvienādojumu atrisināšanas veids ir to atrisināt. caur diskriminantu. Formula kvadrātvienādojuma diskriminanta atrašanai: D=b2 - 4ac. Tad ir divas saknes x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Kad D > 0, vienādojumam ir divas saknes, ja D=0 - viena sakne. Bet kuram kvadrātvienādojumam nav sakņu?Vienkāršākais veids, kā novērot kvadrātvienādojuma sakņu skaitu, ir funkcijas grafikā, kas ir parabola. Pie > 0 zari ir vērsti uz augšu, pie < 0 zari ir nolaisti uz leju. Ja diskriminants ir negatīvs, šādam kvadrātvienādojumam reālo skaitļu kopā nav sakņu.
Var arī vizuāli noteikt sakņu skaitu, nerēķinot diskriminantu. Lai to izdarītu, jums jāatrod parabolas augšdaļa un jānosaka, kurā virzienā tiek virzīti zari. Virsotnes x-koordinātu var noteikt, izmantojot formulu: x0 =-b / 2a. Šajā gadījumā virsotnes y-koordināta tiek atrasta, vienkārši aizstājot x0 vērtību sākotnējā vienādojumā.
Kvadrātvienādojumam x2 – 8x + 72=0 nav sakņu, jo tam ir negatīvs diskriminants D=(–8)2 - 4172=-224. Tas nozīmē, ka parabola nepieskaras x asij un funkcijai nekad netiek piešķirta vērtība 0, tāpēc vienādojumam nav reālu sakņu.
3. Trigonometriskie vienādojumi
Trigonometriskās funkcijas tiek aplūkotas uz trigonometriskā apļa, taču tās var attēlot arī Dekarta koordinātu sistēmā. Šajā rakstā mēs apskatīsim divas trigonometriskās pamatfunkcijas un to vienādojumus: sinx un cosx. Tā kā šīs funkcijas veido trigonometrisku apli ar rādiusu 1, |sinx| un |cosx| nevar būt lielāks par 1. Kuram sinx vienādojumam nav sakņu? Apsveriet attēlā redzamo sinx funkcijas grafikuzemāk.
Mēs redzam, ka funkcija ir simetriska un tās atkārtošanās periods ir 2 pi. Pamatojoties uz to, mēs varam teikt, ka šīs funkcijas maksimālā vērtība var būt 1, bet minimālā -1. Piemēram, izteiksmei cosx=5 nebūs sakņu, jo tās modulis ir lielāks par vienu.
Šis ir vienkāršākais trigonometrisko vienādojumu piemērs. Patiesībā viņu risinājums var aizņemt daudzas lappuses, kuru beigās saproti, ka izmantoji nepareizu formulu un jāsāk no jauna. Dažreiz, pat pareizi atrodot saknes, jūs varat aizmirst ņemt vērā ODZ ierobežojumus, tāpēc atbildē parādās papildu sakne vai intervāls, un visa atbilde pārvēršas par kļūdainu. Tāpēc stingri ievērojiet visus ierobežojumus, jo ne visas saknes iekļaujas uzdevuma ietvaros.
4. Vienādojumu sistēmas
Vienādojumu sistēma ir vienādojumu kopa, kas apvienota ar krokainajām vai kvadrātiekavām. Cirtaini breketes apzīmē visu vienādojumu kopīgu izpildi. Tas ir, ja vismaz vienam no vienādojumiem nav sakņu vai tas ir pretrunā ar otru, visai sistēmai nav risinājuma. Kvadrātiekavas apzīmē vārdu "vai". Tas nozīmē, ka, ja vismaz vienam no sistēmas vienādojumiem ir risinājums, tad visai sistēmai ir risinājums.
Sistēmas ar kvadrātiekavām atbilde ir visu atsevišķo vienādojumu sakņu kopums. Un sistēmām ar cirtainiem lencēm ir tikai kopīgas saknes. Vienādojumu sistēmas var ietvert pilnīgi dažādas funkcijas, tāpēc šī sarežģītība nav tādaļauj uzreiz noteikt, kuram vienādojumam nav sakņu.
Vispārināšana un padomi vienādojuma sakņu atrašanai
Problēmu grāmatās un mācību grāmatās ir dažāda veida vienādojumi: tie, kuriem ir saknes, un tie, kuriem to nav. Pirmkārt, ja nevarat atrast saknes, nedomājiet, ka tās vispār neeksistē. Iespējams, esat kaut kur pieļāvis kļūdu, tad vienkārši vēlreiz pārbaudiet risinājumu.
Mēs esam apskatījuši visvienkāršākos vienādojumus un to veidus. Tagad jūs varat pateikt, kuram vienādojumam nav sakņu. Vairumā gadījumu to nemaz nav grūti izdarīt. Lai gūtu panākumus vienādojumu risināšanā, ir nepieciešama tikai uzmanība un koncentrēšanās. Praktizējiet vairāk, tas palīdzēs jums labāk un ātrāk orientēties materiālā.
Tātad vienādojumam nav sakņu, ja:
- lineārajā vienādojumā mx=n vērtība m=0 un n=0;
- kvadrātvienādojumā, ja diskriminants ir mazāks par nulli;
- trigonometriskā vienādojumā ar formu cosx=m / sinx=n, ja |m| > 0, |n| > 0;
- vienādojumu sistēmā ar krokainām iekavām, ja vismaz vienam vienādojumam nav sakņu, un ar kvadrātiekavām, ja visiem vienādojumiem nav sakņu.
