Daudziem cilvēkiem matemātiskā analīze ir tikai nesaprotamu skaitļu, ikonu un definīciju kopums, kas ir tālu no reālās dzīves. Taču pasaule, kurā mēs eksistējam, ir veidota uz skaitliskiem modeļiem, kuru apzināšana palīdz ne tikai izzināt apkārtējo pasauli un atrisināt tās sarežģītās problēmas, bet arī vienkāršot ikdienas praktiskos uzdevumus. Ko domā matemātiķis, sakot, ka skaitļu virkne saplūst? Tas būtu jāapspriež sīkāk.
Kas ir bezgalīgi mazs?
Iedomāsimies matrjoškas, kas iederas viena otrā. To izmēri, kas rakstīti skaitļu veidā, sākot ar lielāko un beidzot ar mazāko no tiem, veido secību. Ja jūs iedomājaties bezgalīgi daudz šādu spilgtu figūru, tad iegūtā rinda būs fantastiski gara. Šī ir konverģenta skaitļu secība. Un tai ir tendence uz nulli, jo katras nākamās ligzdošanas lelles izmērs, katastrofāli samazinoties, pamazām pārvēršas par neko. Tātad tas ir vieglivar izskaidrot: kas ir bezgalīgi mazs.
Līdzīgs piemērs varētu būt ceļš, kas ved tālumā. Un pa to no novērotāja prom braucošās automašīnas vizuālie izmēri, pamazām sarūkdami, pārvēršas par bezveidīgu plankumu, kas atgādina punktu. Tādējādi mašīna, tāpat kā objekts, attālinoties nezināmā virzienā, kļūst bezgala maza. Norādītā korpusa parametri nekad nebūs nulle vārda tiešajā nozīmē, bet vienmēr tiecas uz šo vērtību gala robežās. Tāpēc šī secība atkal saplūst līdz nullei.
Aprēķināt visu pa pilienam
Iedomāsimies tagad pasaulīgu situāciju. Ārsts izrakstīja pacientam zāles, sākot ar desmit pilieniem dienā un katru nākamo dienu pievienojot divus. Un tā ārsts ieteica turpināt, līdz beigsies zāļu flakona saturs, kura tilpums ir 190 pilieni. No iepriekš minētā izriet, ka tādu skaits, kas ieplānots pa dienām, būs šādas skaitļu sērijas: 10, 12, 14 un tā tālāk.
Kā uzzināt visa kursa pabeigšanas laiku un secības dalībnieku skaitu? Šeit, protams, var primitīvi skaitīt pilienus. Bet, ņemot vērā modeli, ir daudz vieglāk izmantot formulu aritmētiskās progresijas summai ar soli d=2. Un, izmantojot šo metodi, noskaidrojiet, ka skaitļu sērijas dalībnieku skaits ir 10. Šajā gadījumā, a10=28. Dzimumlocekļa skaitlis norāda zāļu lietošanas dienu skaitu, un 28 atbilst pilienu skaitam, kas pacientam jāiepilina.izmantot pēdējā dienā. Vai šī secība saplūst? Nē, jo, neskatoties uz to, ka tas ir ierobežots līdz 10 no apakšas un 28 no augšas, atšķirībā no iepriekšējiem piemēriem šādai skaitļu sērijai nav ierobežojumu.
Kāda ir atšķirība?
Tagad mēģināsim precizēt: kad skaitļu rindas izrādās konverģenta secība. Šāda veida definīcija, kā var secināt no iepriekš minētā, ir tieši saistīta ar ierobežotas robežas jēdzienu, kura klātbūtne atklāj jautājuma būtību. Kāda tad ir principiālā atšķirība starp iepriekš dotajiem piemēriem? Un kāpēc pēdējā no tām skaitli 28 nevar uzskatīt par skaitļu sērijas X =10 + 2(n-1) robežu?
Lai precizētu šo jautājumu, apsveriet citu secību, kas dota ar zemāk esošo formulu, kur n pieder naturālo skaitļu kopai.
Šī dalībnieku kopiena ir kopīgu daļskaitļu kopa, kuras skaitītājs ir 1, un saucējs nepārtraukti pieaug: 1, ½ …
Turklāt katrs nākamais šīs sērijas pārstāvis pēc atrašanās vietas uz skaitļu līnijas arvien vairāk tuvojas 0. Un tas nozīmē, ka parādās tāda apkārtne, kur punkti sagrupējas ap nulli, kas ir robeža. Un jo tuvāk viņi tai ir, jo blīvāka kļūst viņu koncentrācija uz skaitļu līniju. Un attālums starp tiem ir katastrofāli samazināts, pārvēršoties bezgalīgi mazā. Tā ir zīme, ka secība saplūst.
LīdzīgiTādējādi attēlā redzamie daudzkrāsainie taisnstūri, attālinoties telpā, ir vizuāli pieblīvētāki, hipotētiskajā robežā pārvēršoties par niecīgiem.
Bezgalīgi lielas secības
Izanalizējuši konverģentas secības definīciju, pāriesim pie pretpiemēriem. Daudzi no tiem cilvēkiem ir zināmi kopš seniem laikiem. Vienkāršākie atšķirīgo secību varianti ir naturālu un pāra skaitļu sērijas. Tos sauc par bezgalīgi lieliem citādā veidā, jo to locekļi, pastāvīgi pieaugot, arvien vairāk tuvojas pozitīvai bezgalībai.
Piemērs tam var būt arī jebkura aritmētiskā un ģeometriskā progresija, kuras solis un saucējs attiecīgi ir lielāks par nulli. Turklāt skaitliskās rindas tiek uzskatītas par atšķirīgām secībām, kurām vispār nav ierobežojumu. Piemēram, X =(-2) -1.
Fibonači secība
Iepriekš minētās skaitļu sērijas praktiskie ieguvumi cilvēcei ir nenoliedzami. Taču ir neskaitāmi citi lieliski piemēri. Viens no tiem ir Fibonači secība. Katrs tā dalībnieks, kas sākas ar vienu, ir iepriekšējo dalībnieku summa. Tās pirmie divi pārstāvji ir 1 un 1. Trešais 1+1=2, ceturtais 1+2=3, piektais 2+3=5. Tālāk pēc tās pašas loģikas seko skaitļi 8, 13, 21 un tā tālāk.
Šī skaitļu sērija palielinās uz nenoteiktu laiku, un tajā nav nevienagalīgā robeža. Bet tam ir vēl viens brīnišķīgs īpašums. Katra iepriekšējā skaitļa attiecība pret nākamo tuvojas un tuvojas vērtībai 0,618. Šeit jūs varat saprast atšķirību starp konverģentu un diverģentu secību, jo, veicot virkni saņemto daļējo dalījumu, norādītā skaitliskā sistēma ir ierobežots ierobežojums, kas vienāds ar 0,618.
Fibonači koeficientu secība
Iepriekš norādītās numuru sērijas tiek plaši izmantotas praktiskos nolūkos tirgus tehniskajai analīzei. Bet tas neaprobežojas tikai ar tās spējām, kuras ēģiptieši un grieķi zināja un spēja pielietot praksē senos laikos. To pierāda viņu uzbūvētās piramīdas un Partenons. Galu galā skaitlis 0,618 ir nemainīgs zelta griezuma koeficients, kas bija labi zināms vecos laikos. Saskaņā ar šo noteikumu jebkuru patvaļīgu segmentu var sadalīt tā, lai tā daļu attiecība sakristu ar attiecību starp lielāko no segmentiem un kopējo garumu.
Izveidosim norādīto attiecību sēriju un mēģināsim analizēt šo secību. Skaitļu sērijas būs šādas: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 un tā tālāk. Šādi turpinot, varam pārliecināties, ka konverģences secības robeža tiešām būs 0.618. Taču jāņem vērā arī citas šīs likumsakarības īpašības. Šeit skaitļi šķiet nejauši, nevis augošā vai dilstošā secībā. Tas nozīmē, ka šī konverģējošā secība nav monotona. Kāpēc tas tā, tiks apspriests tālāk.
Monotoniskums un ierobežojumi
Ciparu sērijas dalībnieki var skaidri samazināties, palielinoties skaitam (ja x1>x2>x3 $3<…<x <…). Šajā gadījumā secība tiek uzskatīta par stingri monotonu. Var novērot arī citus modeļus, kur skaitliskās rindas būs nesamazinošas un nepalielinošas (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… vai x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), tad arī secīgi konverģentais ir monotons, tikai ne tiešā nozīmē. Labs piemērs pirmajai no šīm opcijām ir skaitļu sērija, kas dota ar šādu formulu.
Uzzīmējot šīs sērijas skaitļus, jūs varat redzēt, ka neviens no tās dalībniekiem, bezgalīgi tuvojoties 1, nekad nepārsniegs šo vērtību. Šajā gadījumā konverģentā secība tiek uzskatīta par ierobežotu. Tas notiek ikreiz, kad ir tik pozitīvs skaitlis M, kas vienmēr ir lielāks par jebkuru no sērijas modulo nosacījumiem. Ja skaitļu sērijai ir monotonitātes pazīmes un tai ir robeža, un tāpēc tā saplūst, tad tai noteikti ir šāds īpašums. Un tam nav jābūt patiesībai. Par to liecina robežas teorēma konverģentai secībai.
Šādu novērojumu pielietošana praksē ir ļoti noderīga. Sniegsim konkrētu piemēru, pārbaudot secības X =īpašībasn/n+1, un pierāda tā konverģenci. Ir viegli parādīt, ka tas ir monotons, jo (x +1 – x) ir pozitīvs skaitlis jebkurām n vērtībām. Secības robeža ir vienāda ar skaitli 1, kas nozīmē, ka ir izpildīti visi iepriekš minētās teorēmas nosacījumi, ko sauc arī par Veierštrāsa teorēmu. Teorēma par konverģentas secības robežu nosaka, ka, ja tai ir robeža, tad jebkurā gadījumā tā izrādās ierobežota. Tomēr ņemsim šādu piemēru. Skaitļu sērija X =(-1) no apakšas ir ierobežota ar -1 un no augšas ar 1. Taču šī secība nav monotona, tai nav robežu, un tāpēc nesaplūst. Tas ir, ierobežojuma esamība un konverģence ne vienmēr izriet no ierobežojuma. Lai tas darbotos, apakšējai un augšējai robežai ir jāsakrīt, kā tas ir Fibonači koeficientu gadījumā.
Visuma skaitļi un likumi
Vienkāršākie konverģentas un diverģentas secības varianti, iespējams, ir skaitliskā rinda X =n un X =1/n. Pirmā no tām ir dabiska skaitļu virkne. Tas, kā jau minēts, ir bezgala liels. Otrā konverģentā secība ir ierobežota, un tās termini ir tuvu bezgalīgi mazam. Katra no šīm formulām personificē kādu no daudzpusīgā Visuma pusēm, palīdzot cilvēkam iztēloties un izskaitļot kaut ko nezināmu, ierobežotai uztverei nepieejamu skaitļu un zīmju valodā.
Visuma likumi, sākot no niecīgiem līdz neticami lieliem, arī izsaka zelta attiecību 0,618. Zinātniekiviņi uzskata, ka tas ir lietu būtības pamatā un daba to izmanto, lai veidotu tās daļas. Jau pieminētās attiecības starp nākamajiem un iepriekšējiem Fibonači sērijas dalībniekiem nepabeidz šīs unikālās sērijas apbrīnojamo īpašību demonstrāciju. Ja ņemam vērā koeficientu, kas dalot iepriekšējo biedru ar nākamo ar vienu, tad iegūstam virkni 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 un tā tālāk. Interesanti, ka šī ierobežotā secība saplūst, tā nav monotona, bet blakus esošo ekstrēmo skaitļu attiecība no noteikta locekļa vienmēr ir aptuveni vienāda ar 0,382, ko var izmantot arī arhitektūrā, tehniskajā analīzē un citās nozarēs.
Ir arī citi interesanti Fibonači sērijas koeficienti, tiem visiem ir īpaša loma dabā, un tos izmanto arī cilvēks praktiskiem nolūkiem. Matemātiķi ir pārliecināti, ka Visums attīstās saskaņā ar noteiktu "zelta spirāli", kas veidojas no norādītajiem koeficientiem. Ar to palīdzību ir iespējams aprēķināt daudzas parādības, kas notiek uz Zemes un kosmosā, sākot no noteiktu baktēriju skaita pieauguma līdz tālu komētu kustībai. Kā izrādās, DNS kods pakļaujas līdzīgiem likumiem.
Dirstoša ģeometriskā progresija
Ir teorēma, kas apliecina konverģentas secības robežas unikalitāti. Tas nozīmē, ka tai nevar būt divas vai vairākas robežas, kas neapšaubāmi ir svarīgi, lai atrastu tā matemātiskos raksturlielumus.
Apskatīsim dažusgadījumiem. Jebkura skaitliska rinda, kas sastāv no aritmētiskās progresijas locekļiem, ir atšķirīga, izņemot gadījumu ar nulles soli. Tas pats attiecas uz ģeometrisko progresiju, kuras saucējs ir lielāks par 1. Šādu skaitlisko rindu robežas ir bezgalības “pluss” vai “mīnuss”. Ja saucējs ir mazāks par -1, tad ierobežojuma vispār nav. Ir iespējamas arī citas iespējas.
Apsveriet skaitļu sēriju, kas dota ar formulu X =(1/4) -1. No pirmā acu uzmetiena ir viegli redzēt, ka šī konverģējošā secība ir ierobežota, jo tā stingri samazinās un nekādā gadījumā nevar iegūt negatīvas vērtības.
Uzrakstīsim vairākus tā dalībniekus pēc kārtas.
Izrādīsies: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 un tā tālāk. Pietiek ar pavisam vienkāršiem aprēķiniem, lai saprastu, cik ātri šī ģeometriskā progresija samazinās no saucējiem 0<q<1. Kamēr terminu saucējs palielinās bezgalīgi, tie paši kļūst bezgalīgi mazi. Tas nozīmē, ka skaitļu sērijas ierobežojums ir 0. Šis piemērs vēlreiz parāda konverģentās secības ierobežoto raksturu.
Fundamentālās secības
Franču zinātnieks Augustins Luiss Košī atklāja pasaulei daudzus darbus, kas saistīti ar matemātisko analīzi. Viņš sniedza definīcijas tādiem jēdzieniem kā diferenciālis, integrālis, ierobežojums un nepārtrauktība. Viņš arī pētīja konverģentu secību pamatīpašības. Lai saprastu viņa ideju būtību,ir jāapkopo dažas svarīgas detaļas.
Pašā raksta sākumā tika parādīts, ka ir tādas sekvences, kurām ir apkaime, kur punkti, kas attēlo noteiktas sērijas dalībniekus uz reālās līnijas, sāk grupēties, sarindojoties arvien vairāk. blīvi. Tajā pašā laikā attālums starp tiem samazinās, palielinoties nākamā pārstāvja skaitam, pārvēršoties par bezgalīgi mazu. Tādējādi izrādās, ka noteiktā apkaimē ir sagrupēts bezgalīgs skaits noteiktas sērijas pārstāvju, savukārt ārpus tās ir ierobežots skaits. Šādas secības sauc par fundamentālām.
Slavenais Košī kritērijs, ko izveidojis franču matemātiķis, skaidri norāda, ka ar šādas īpašības esamību pietiek, lai pierādītu, ka secība saplūst. Ir arī otrādi.
Jāatzīmē, ka šis franču matemātiķa secinājums lielākoties ir tīri teorētiski interesants. Tā pielietošana praksē uzskatāma par diezgan sarežģītu lietu, tāpēc, lai noskaidrotu rindu konverģenci, daudz svarīgāk ir pierādīt virknes ierobežotas robežas esamību. Pretējā gadījumā tas tiek uzskatīts par atšķirīgu.
Risinot uzdevumus, jāņem vērā arī konverģentu secību pamatīpašības. Tie ir parādīti zemāk.
Bezgalīgas summas
Tādi slaveni senatnes zinātnieki kā Arhimēds, Eiklīds, Eudokss izmantoja bezgalīgu skaitļu virkņu summas, lai aprēķinātu līkņu garumus un ķermeņu tilpumusun figūru laukumi. Jo īpaši šādā veidā bija iespējams noskaidrot paraboliskā segmenta laukumu. Šim nolūkam tika izmantota ģeometriskās progresijas skaitlisko sēriju summa ar q=1/4. Līdzīgi tika atrasti arī citu patvaļīgu figūru apjomi un laukumi. Šo iespēju sauca par "izsmelšanas" metodi. Ideja bija tāda, ka pētītais ķermenis, kas ir sarežģītas formas, tika sadalīts daļās, kas bija figūras ar viegli izmērāmiem parametriem. Šī iemesla dēļ nebija grūti aprēķināt to platības un apjomus, un tad tie tika summēti.
Starp citu, līdzīgi uzdevumi ir ļoti pazīstami mūsdienu skolēniem un ir atrodami USE uzdevumos. Unikālā metode, ko atraduši tālie senči, ir vienkāršākais risinājums. Pat ja ir tikai divas vai trīs daļas, kurās skaitliskais skaitlis ir sadalīts, to laukumu pievienošana joprojām ir skaitļu sērijas summa.
Daudz vēlāk nekā senie grieķu zinātnieki Leibnics un Ņūtons, balstoties uz savu gudro priekšgājēju pieredzi, apguva integrāļa aprēķina modeļus. Zināšanas par sekvenču īpašībām palīdzēja viņiem atrisināt diferenciālvienādojumus un algebriskos vienādojumus. Šobrīd sēriju teorija, kas izveidota ar daudzu talantīgu zinātnieku paaudžu pūliņiem, dod iespēju atrisināt milzīgu skaitu matemātisko un praktisko problēmu. Un skaitlisko secību izpēte ir bijusi galvenā matemātiskās analīzes problēma kopš tās pirmsākumiem.
