Georgs Kantors (foto ir sniegts rakstā vēlāk) ir vācu matemātiķis, kurš izveidoja kopu teoriju un ieviesa transfinītu skaitļu jēdzienu, kas ir bezgalīgi lieli, bet atšķiras viens no otra. Viņš arī definēja kārtas un kardinālos skaitļus un izveidoja to aritmētiku.
Georgs Kantors: īsa biogrāfija
Dzimis Sanktpēterburgā 1845.03.03. Viņa tēvs bija protestantu ticības dānis Georgs Valdemārs Kantors, kurš nodarbojās ar tirdzniecību, tostarp biržā. Viņa māte Marija Bema bija katoliete un nāca no ievērojamu mūziķu ģimenes. Kad Georga tēvs 1856. gadā saslima, ģimene vispirms pārcēlās uz Vīsbādeni un pēc tam uz Frankfurti, lai meklētu maigāku klimatu. Zēna matemātikas dotības atklājās vēl pirms 15. dzimšanas dienas, mācoties privātajās skolās un ģimnāzijās Darmštatē un Vīsbādenē. Galu galā Georgs Kantors pārliecināja savu tēvu par viņa stingro nodomu kļūt par matemātiķi, nevis inženieri.
Pēc neilgas studijas Cīrihes Universitātē 1863. gadā Kantors pārgāja uz Berlīnes Universitāti, lai studētu fiziku, filozofiju un matemātiku. Tur viņšmācīja:
- Kārlis Teodors Veierštrāss, kura specializācija analīzē, iespējams, visvairāk ietekmēja Georgu;
- Ernsts Eduards Kummers, kurš pasniedza augstāko aritmētiku;
- Leopolds Kronekers, skaitļu teorētiķis, kurš vēlāk iestājās pret Kantoru.
Pēc tam, kad 1866. gadā pavadīja vienu semestri Getingenes Universitātē, nākamajā gadā Georgs uzrakstīja savu doktora disertāciju ar nosaukumu "Matemātikā jautājumu uzdošanas māksla ir vērtīgāka par problēmu risināšanu" par Karla Frīdriha Gausa problēmu. atstāts neatrisināts savā Disquisitiones Arithmeticae (1801). Pēc neilga laika mācīšanas Berlīnes meiteņu skolā, Kantors sāka strādāt Halles Universitātē, kur palika līdz mūža beigām, vispirms kā skolotājs, no 1872. gada docents un no 1879. gada kā profesors.
Pētniecība
10 rakstu sērijas sākumā no 1869. līdz 1873. gadam Georgs Kantors apsvēra skaitļu teoriju. Darbs atspoguļoja viņa aizraušanos ar šo tēmu, Gausa pētījumus un Kronekera ietekmi. Pēc Kantora kolēģa Hallē Heinriha Eduarda Heines ierosinājuma, kurš atzina viņa matemātikas talantu, viņš pievērsās trigonometrisko rindu teorijai, kurā paplašināja reālo skaitļu jēdzienu.
Pamatojoties uz vācu matemātiķa Bernharda Rīmaņa (Bernhard Riemann) darbu par kompleksā mainīgā funkciju 1854. gadā, Kantors 1870. gadā parādīja, ka šādu funkciju var attēlot tikai vienā veidā – ar trigonometriskām rindām. Skaitļu (punktu) kopas izskatīšana, kasnenonāktu pretrunā ar šādu uzskatu, noveda viņu, pirmkārt, 1872. gadā pie iracionālo skaitļu definīcijas racionālo skaitļu konverģentu secību izteiksmē (veselo skaitļu daļas) un tālāk līdz darba sākumam pie viņa mūža darba, kopu teorijas un koncepcijas. no transfinītiem skaitļiem.
Komplekta teorija
Georgs Kantors, kura kopu teorija radās sarakstē ar Braunšveigas Tehniskā institūta matemātiķi Ričardu Dedekindu, bija viņa draugs kopš bērnības. Viņi secināja, ka kopas, neatkarīgi no tā, vai tās ir ierobežotas vai bezgalīgas, ir elementu kolekcijas (piemēram, skaitļi, {0, ±1, ±2…}), kuriem ir noteikta īpašība, vienlaikus saglabājot savu individualitāti. Bet, kad Georgs Kantors izmantoja savstarpēju atbilstību (piemēram, {A, B, C} uz {1, 2, 3}), lai izpētītu to īpašības, viņš ātri saprata, ka tie atšķiras pēc piederības pakāpes, pat ja tās būtu bezgalīgas kopas., t.i., kopas, kuru daļa vai apakškopa ietver tikpat daudz objektu kā tā pati. Viņa metode drīz vien deva pārsteidzošus rezultātus.
1873. gadā Georgs Kantors (matemātiķis) parādīja, ka racionālie skaitļi, lai arī bezgalīgi, ir saskaitāmi, jo tos var saskaitīt viens pret vienu ar naturāliem skaitļiem (t.i., 1, 2, 3 utt.). d.). Viņš parādīja, ka reālo skaitļu kopa, kas sastāv no iracionālajiem un racionālajiem skaitļiem, ir bezgalīga un nesaskaitāma. Paradoksālāk, Kantors pierādīja, ka visu algebrisko skaitļu kopa satur tik daudz elementu, cikcik ir visu veselu skaitļu kopa un ka pārpasaulīgie skaitļi, kas nav algebriski, kas ir iracionālu skaitļu apakškopa, ir nesaskaitāmi, un tāpēc to skaits ir lielāks par veseliem skaitļiem, un tie jāuzskata par bezgalīgiem.
Pretinieki un atbalstītāji
Bet Kantora raksts, kurā viņš pirmo reizi izvirzīja šos rezultātus, netika publicēts Krellā, jo viens no recenzentiem Kronekers kategoriski iebilda pret to. Bet pēc Dedekinda iejaukšanās tas tika publicēts 1874. gadā ar nosaukumu "Par visu reālo algebrisko skaitļu raksturīgajām īpašībām".
Zinātne un privātā dzīve
Tajā pašā gadā, atrodoties medusmēnesī kopā ar savu sievu Volliju Gūtmenu Interlakenā, Šveicē, Kantors satika Dedekindu, kurš labvēlīgi izteicās par savu jauno teoriju. Džordža alga bija maza, bet par 1863. gadā mirušā tēva naudu viņš uzcēla māju sievai un pieciem bērniem. Daudzi no viņa rakstiem tika publicēti Zviedrijā jaunajā žurnālā Acta Mathematica, ko rediģēja un dibināja Gesta Mittag-Leffler, kurš bija viens no pirmajiem, kas atzina vācu matemātiķa talantu.
Saikne ar metafiziku
Kantora teorija kļuva par pilnīgi jaunu studiju priekšmetu bezgalīgā matemātikas jomā (piemēram, 1., 2., 3. utt. sērijas un sarežģītākas kopas), kas lielā mērā bija atkarīga no savstarpējās atbilstības. Kantora jaunu inscenēšanas metožu izstrādejautājumi par nepārtrauktību un bezgalību, piešķīra viņa pētījumam neskaidru raksturu.
Kad viņš apgalvoja, ka bezgalīgi skaitļi patiešām pastāv, viņš pievērsās seno un viduslaiku filozofijai attiecībā uz faktisko un potenciālo bezgalību, kā arī agrīnajai reliģiskajai izglītībai, ko viņam sniedza vecāki. 1883. gadā savā grāmatā Vispārējās kopu teorijas pamati Kantors savu koncepciju apvienoja ar Platona metafiziku.
Kronekers, kurš apgalvoja, ka “pastāv” tikai veseli skaitļi (“Dievs radīja veselus skaitļus, pārējais ir cilvēka darbs”), daudzus gadus dedzīgi noraidīja viņa argumentāciju un neļāva viņu iecelt Berlīnes Universitātē.
Transfinite skaitļi
1895.-97.g. Georgs Kantors pilnībā izveidoja savu jēdzienu par nepārtrauktību un bezgalību, tostarp bezgalīgiem kārtas un kardināliem skaitļiem, savā slavenākajā darbā, kas publicēts kā Ieguldījums pārrobežu skaitļu teorijas izveidošanā (1915). Šajā esejā ir ietverta viņa koncepcija, pie kuras viņš tika parādīts, parādot, ka bezgalīgu kopu var ievietot savstarpējā atbilstībā ar vienu no tās apakškopām.
Zem vismazāk pārrobežu kardinālā skaitļa viņš domāja jebkuras kopas kardinalitāti, ko var salikt viens pret vienu ar naturāliem skaitļiem. Kantors to nosauca par aleph-null. Lielas transfinītu kopas apzīmē alef-viens, alefs-divi utt. Viņš tālāk attīstīja transfinītu skaitļu aritmētiku, kas bija analoga galīgajai aritmētikai. Tātad viņšbagātināja bezgalības jēdzienu.
Opozīcija, ar kuru viņš saskārās, un laiks, kas bija vajadzīgs, lai viņa idejas tiktu pilnībā pieņemtas, ir saistīts ar grūtībām pārvērtēt seno jautājumu par to, kas ir skaitlis. Kantors parādīja, ka punktu kopai uz līnijas ir lielāka kardinalitāte nekā alef-nullei. Tas noveda pie labi zināmās kontinuuma hipotēzes problēmas - starp aleph-nulle un punktu jaudu uz līnijas nav kardinālu skaitļu. Šī problēma 20. gadsimta pirmajā un otrajā pusē izraisīja lielu interesi, un to pētīja daudzi matemātiķi, tostarp Kurts Gēdels un Pols Koens.
Depresija
Georga Kantora biogrāfiju kopš 1884. gada aizēnoja viņa garīgās slimības, taču viņš turpināja aktīvi strādāt. 1897. gadā viņš palīdzēja noturēt pirmo starptautisko matemātikas kongresu Cīrihē. Daļēji tāpēc, ka Kronekers viņam iebilda, viņš bieži juta līdzi jauniem topošajiem matemātiķiem un meklēja veidu, kā viņus glābt no skolotāju vajāšanas, kuri jutās apdraudēti ar jaunām idejām.
Atzinība
Gadsimtu mijā viņa darbs tika pilnībā atzīts par funkciju teorijas, analīzes un topoloģijas pamatu. Turklāt kantora Georga grāmatas kalpoja par stimulu matemātikas loģisko pamatu intuīcijas un formālistu skolu tālākai attīstībai. Tas būtiski mainīja mācību sistēmu un bieži tiek saistīts ar "jauno matemātiku".
1911. gadā Kantors bija viens no tiem, kas tika uzaicinātiSkotijas Sentendrjūsas universitātes 500. gadadienas svinības. Viņš devās uz turieni cerībā satikt Bertrānu Raselu, kurš nesen publicētajā darbā Principia Mathematica vairākkārt atsaucās uz vācu matemātiķi, taču tas nenotika. Universitāte Kantoram piešķīra goda rakstu, taču slimības dēļ viņš nevarēja saņemt balvu personīgi.
Kantors aizgāja pensijā 1913. gadā, Pirmā pasaules kara laikā dzīvoja nabadzībā un cieta badu. Svinības par godu viņa 70. dzimšanas dienai 1915. gadā kara dēļ tika atceltas, bet viņa mājās notika neliela ceremonija. Viņš nomira 1918. gada 1. jūnijā Hallē, psihiatriskajā slimnīcā, kur pavadīja savas dzīves pēdējos gadus.
Georgs Kantors: biogrāfija. Ģimene
1874. gada 9. augustā vācu matemātiķis apprecējās ar Volliju Gūtmani. Pārim bija 4 dēli un 2 meitas. Pēdējais bērns piedzima 1886. gadā Kantora iegādātajā jaunajā mājā. Viņa tēva mantojums palīdzēja viņam uzturēt ģimeni. Kantora veselību ļoti ietekmēja viņa jaunākā dēla nāve 1899. gadā, un kopš tā laika depresija viņu nav atstājusi.
