Cilindrs ir viena no vienkāršajām trīsdimensiju figūrām, kas tiek pētīta skolas ģeometrijas kursā (nodaļas cietā ģeometrija). Šajā gadījumā bieži rodas problēmas, aprēķinot cilindra tilpumu un masu, kā arī nosakot tā virsmas laukumu. Atbildes uz atzīmētajiem jautājumiem ir sniegtas šajā rakstā.
Kas ir cilindrs?
Pirms ķerties pie atbildes uz jautājumu, kāda ir cilindra masa un tilpums, ir vērts padomāt, kāda ir šī telpiskā figūra. Uzreiz jāatzīmē, ka cilindrs ir trīsdimensiju objekts. Tas nozīmē, ka telpā var izmērīt trīs tā parametrus pa katru asi Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā. Patiesībā, lai nepārprotami noteiktu cilindra izmērus, pietiek zināt tikai divus tā parametrus.
Cilindrs ir trīsdimensiju figūra, ko veido divi apļi un cilindriska virsma. Lai skaidrāk attēlotu šo objektu, pietiek paņemt taisnstūri un sākt to pagriezt ap jebkuru no tā malām, kas būs rotācijas ass. Šajā gadījumā rotējošais taisnstūris aprakstīs formurotācija - cilindrs.
Divas apaļas virsmas sauc par cilindra pamatnēm, tām raksturīgs noteikts rādiuss. Attālumu starp pamatnēm sauc par augstumu. Abas pamatnes ir savstarpēji savienotas ar cilindrisku virsmu. Līniju, kas iet caur abu apļu centriem, sauc par cilindra asi.
Apjoms un virsmas laukums
Kā redzams no iepriekš minētā, cilindru nosaka divi parametri: augstums h un tā pamatnes rādiuss r. Zinot šos parametrus, ir iespējams aprēķināt visas pārējās apskatāmā ķermeņa īpašības. Tālāk ir norādīti galvenie:
- Bāžu laukums. Šo vērtību aprēķina pēc formulas: S1=2pir2, kur pi ir pi vienāds ar 3, 14. 2. cipars. formulā parādās, jo cilindram ir divas identiskas bāzes.
- Cilindriskās virsmas laukums. To var aprēķināt šādi: S2=2pirh. Šo formulu ir viegli saprast: ja cilindrisku virsmu nogriež vertikāli no vienas pamatnes uz otru un izpleš, tad tiks iegūts taisnstūris, kura augstums būs vienāds ar cilindra augstumu, bet platums atbilst trīsdimensiju figūras pamatnes apkārtmērs. Tā kā iegūtā taisnstūra laukums ir tā malu reizinājums, kas ir vienāds ar h un 2pir, tiek iegūta iepriekš minētā formula.
- Cilindra virsmas laukums. Tas ir vienāds ar laukumu S1 un S2 summu, mēs iegūstam: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Skaļums. Šo vērtību ir viegli atrast, jums vienkārši jāreizina vienas bāzes laukums ar figūras augstumu: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Cilindra masas noteikšana
Beidzot ir vērts pāriet tieši pie raksta tēmas. Kā noteikt cilindra masu? Lai to izdarītu, jums jāzina tā apjoms, aprēķina formula, kas tika parādīta iepriekš. Un tās vielas blīvums, no kuras tas sastāv. Masu nosaka pēc vienkāršas formulas: m=ρV, kur ρ ir materiāla blīvums, kas veido attiecīgo objektu.
Blīvuma jēdziens raksturo vielas masu, kas atrodas telpas tilpuma vienībā. Piemēram. Ir zināms, ka dzelzs blīvums ir lielāks nekā koksnei. Tas nozīmē, ka vienāda daudzuma dzelzs un koksnes gadījumā pirmajam būs daudz lielāka masa nekā otrajam (apmēram 16 reizes).
Vara cilindra masas aprēķināšana
Apsveriet vienkāršu problēmu. Ir nepieciešams atrast no vara izgatavota cilindra masu. Precizitātes labad ļaujiet cilindra diametram būt 20 cm un augstumam 10 cm.
Pirms sākat risināt problēmu, jums jātiek galā ar avota datiem. Cilindra rādiuss ir vienāds ar pusi no tā diametra, kas nozīmē r=20/2=10 cm, savukārt augstums ir h=10 cm. Tā kā uzdevumā aplūkotais cilindrs ir izgatavots no vara, tad, atsaucoties uz atsauces datus, mēs izrakstām šī materiāla blīvuma vērtību: ρ=8, 96 g/cm3 (temperatūrai 20 °C).
Tagad varat sākt risināt problēmu. Vispirms aprēķināsim tilpumu: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Tad cilindra masa būs: m=ρV=8,963140=28134 grami jeb aptuveni 28 kilogrami.
Jums jāpievērš uzmanība vienību izmēriem, tos lietojot attiecīgajās formulās. Tātad uzdevumā visi parametri tika uzrādīti centimetros un gramos.
Viendabīgi un dobi cilindri
Pēc augstāk iegūtā rezultāta var redzēt, ka vara cilindram ar salīdzinoši maziem izmēriem (10 cm) ir liela masa (28 kg). Tas ir saistīts ne tikai ar to, ka tas ir izgatavots no smaga materiāla, bet arī ar to, ka tas ir viendabīgs. Šo faktu ir svarīgi saprast, jo iepriekš minēto formulu masas aprēķināšanai var izmantot tikai tad, ja cilindrs ir pilnībā (ārpuse un iekšpuse) izgatavots no viena un tā paša materiāla, tas ir, tas ir viendabīgs.
Praksē bieži izmanto dobus cilindrus (piemēram, cilindriskas mucas ūdenim). Tas ir, tie ir izgatavoti no plānām kāda materiāla loksnēm, bet iekšpusē tie ir tukši. Dobam cilindram norādīto formulu masas aprēķināšanai nevar izmantot.
Dobā cilindra masas aprēķināšana
Interesanti izskaitļot, kāda masa būs vara cilindram, ja tas iekšā ir tukšs. Piemēram, ļaujiet tai izgatavot no plānas vara loksnes, kuras biezums ir tikai d=2 mm.
Lai atrisinātu šo problēmu, jāatrod paša vara tilpums, no kura izgatavots objekts. Nevis cilindra tilpums. Jo biezumsloksne ir maza, salīdzinot ar cilindra izmēriem (d=2 mm un r=10 cm), tad vara tilpumu, no kura izgatavots priekšmets, var atrast, reizinot visu cilindra virsmas laukumu ar vara loksnes biezumu, iegūstam: V=dS 3=d2pir(r+h). Aizstājot datus no iepriekšējā uzdevuma, iegūstam: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Doba cilindra masu var iegūt, reizinot iegūto vara tilpumu, kas bija nepieciešams tā ražošanai, ar vara blīvumu: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g vai 2,3 kg. Tas ir, aplūkotais dobais cilindrs sver 12 (28, 1/2, 3) reizes mazāk nekā viendabīgs cilindrs.
