Pat skolā visi skolēni iepazīstas ar jēdzienu "Eiklīda ģeometrija", kura galvenie nosacījumi ir vērsti ap vairākām aksiomām, kuru pamatā ir tādi ģeometriski elementi kā punkts, plakne, līnija, kustība. Tie visi kopā veido to, kas jau sen ir pazīstams ar terminu "Eiklīda telpa".
Eiklīda telpa, kuras definīcijas pamatā ir vektoru skalārās reizināšanas jēdziens, ir īpašs lineāras (afīnas) telpas gadījums, kas atbilst vairākām prasībām. Pirmkārt, vektoru skalārais reizinājums ir absolūti simetrisks, tas ir, vektors ar koordinātām (x;y) ir kvantitatīvi identisks vektoram ar koordinātām (y;x), bet pretējs virzienā.
Otrkārt, ja tiek veikta vektora skalārā reizinājums ar sevi, tad šīs darbības rezultāts būs pozitīvs. Vienīgais izņēmums būs gadījums, kad šī vektora sākotnējās un beigu koordinātas ir vienādas ar nulli: šajā gadījumā tā reizinājums ar sevi arī būs vienāds ar nulli.
Treškārt, skalārais reizinājums ir distributīvs, tas ir, ir iespējams sadalīt vienu no tās koordinātām divu vērtību summā, kas neizraisīs nekādas izmaiņas vektoru skalārās reizināšanas galarezultātā. Visbeidzot, ceturtkārt, ja vektori tiek reizināti ar to pašu reālo skaitli, arī to skalārais reizinājums palielināsies par tādu pašu koeficientu.
Ja visi šie četri nosacījumi ir izpildīti, mēs varam ar pārliecību teikt, ka mums ir Eiklīda telpa.
Eiklīda telpu no praktiskā viedokļa var raksturot ar šādiem konkrētiem piemēriem:
- Vienkāršākais gadījums ir vektoru kopas klātbūtne ar skalāru reizinājumu, kas definēts saskaņā ar ģeometrijas pamatlikumiem.
- Eiklīda telpa tiks iegūta arī tad, ja ar vektoriem mēs domājam noteiktu galīgu reālu skaitļu kopu ar noteiktu formulu, kas apraksta to skalāro summu vai reizinājumu.
- Īpašs Eiklīda telpas gadījums ir tā sauktā nulles telpa, ko iegūst, ja abu vektoru skalārais garums ir vienāds ar nulli.
Eiklīda telpai ir vairākas specifiskas īpašības. Pirmkārt, skalāro koeficientu var izņemt no iekavām gan no pirmā, gan otrā skalārā reizinājuma faktora, rezultāts no tā nekādā veidā nemainīsies. Otrkārt, kopā ar skalāra pirmā elementa sadalījumuprodukts, darbojas arī otrā elementa sadalījums. Turklāt, papildus vektoru skalārajai summai, vektoru atņemšanas gadījumā notiek arī distributivitāte. Visbeidzot, treškārt, kad vektoru skalāri reizina ar nulli, rezultāts arī būs nulle.
Tādējādi Eiklīda telpa ir vissvarīgākais ģeometriskais jēdziens, ko izmanto, risinot uzdevumus ar vektoru savstarpējo izvietojumu attiecībā pret otru, ko raksturo tāds jēdziens kā skalārais reizinājums.
