Klausoties matemātikas skolotāju, lielākā daļa skolēnu uztver materiālu kā aksiomu. Tajā pašā laikā daži cilvēki cenšas nokļūt līdz apakšai un saprast, kāpēc mīnuss uz plusa dod mīnusa zīmi, un, reizinot divus negatīvus skaitļus, tas iznāk pozitīvs.
Matemātikas likumi
Lielākā daļa pieaugušo nespēj izskaidrot sev vai saviem bērniem, kāpēc tas notiek. Viņi bija pamatīgi apguvuši šo materiālu skolā, bet viņi pat nemēģināja noskaidrot, no kurienes tādi noteikumi radušies. Bet velti. Bieži vien mūsdienu bērni nav tik lētticīgi, viņiem ir jāiedziļinās lietas būtībā un jāsaprot, piemēram, kāpēc “pluss” uz “mīnuss” dod “mīnusu”. Un dažreiz puikas apzināti uzdod viltīgus jautājumus, lai izbaudītu brīdi, kad pieaugušie nevar sniegt saprotamu atbildi. Un tā patiešām ir katastrofa, ja jauns skolotājs nonāk nekārtībā…
Starp citu, jāņem vērā, ka iepriekš minētais noteikums ir spēkā gan reizināšanai, gan dalīšanai. Negatīvā un pozitīva skaitļa reizinājums dos tikai mīnusu. Ja mēs runājam par diviem cipariem ar “-” zīmi, tad rezultāts būs pozitīvs skaitlis. Tas pats attiecas uz sadalīšanu. Javiens no skaitļiem ir negatīvs, tad koeficients būs arī ar “-” zīmi.
Lai izskaidrotu šī matemātikas likuma pareizību, nepieciešams formulēt gredzena aksiomas. Bet vispirms jums ir jāsaprot, kas tas ir. Matemātikā par gredzenu pieņemts saukt kopu, kurā ir iesaistītas divas darbības ar diviem elementiem. Bet labāk to risināt ar piemēru.
Gredzena aksioma
Ir vairāki matemātiski likumi.
- Pirmais ir komutatīvais, pēc viņa teiktā, C + V=V + C.
- Otro sauc par asociatīvo (V + C) + D=V + (C + D).
Tie arī ievēro reizināšanu (V x C) x D=V x (C x D).
Neviens nav atcēlis noteikumus, saskaņā ar kuriem tiek atvērtas iekavas (V + C) x D=V x D + C x D, tāpat ir taisnība, ka C x (V + D)=C x V + C x D.
Turklāt ir noskaidrots, ka gredzenā var ievadīt speciālu, pievienošanas ziņā neitrālu elementu, kuru izmantojot būs patiess: C + 0=C. Turklāt katram C. ir pretējs elements, ko var apzīmēt kā (-C). Šajā gadījumā C + (-C)=0.
Aksiomu atvasināšana negatīviem skaitļiem
Piekrītot iepriekš minētajiem apgalvojumiem, mēs varam atbildēt uz jautājumu: ""Plus" līdz "mīnuss" dod kādu zīmi? Zinot aksiomu par negatīvo skaitļu reizināšanu, ir jāapstiprina, ka patiešām (-C) x V=-(C x V). Un arī šī vienādība ir patiesa: (-(-C))=C.
Lai to izdarītu, mums vispirms būs jāpierāda, ka katram no elementiem ir tikai vienspretējais brālis. Apsveriet šādu pierādījumu piemēru. Mēģināsim iedomāties, ka divi skaitļi ir pretēji C - V un D. No tā izriet, ka C + V=0 un C + D=0, tas ir, C + V=0=C + D. Atceroties pārvietošanās likumus un par skaitļa 0 īpašībām mēs varam apsvērt visu trīs skaitļu summu: C, V un D. Mēģināsim izdomāt V vērtību. Loģiski, ka V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, jo C + D vērtība, kā tika pieņemts iepriekš, ir vienāda ar 0. Tādējādi V=V + C + D.
D vērtība tiek iegūta tieši tādā pašā veidā: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Pamatojoties uz to, kļūst skaidrs, ka V=D.
Lai saprastu, kāpēc "plus" uz "mīnusa" dod "mīnusu", jums ir jāsaprot sekojošais. Tātad elementam (-C) pretēji ir C un (-(-C)), tas ir, tie ir vienādi viens ar otru.
Tad ir skaidrs, ka 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. No tā izriet, ka C x V ir pretējs (-)C x V, tātad (-C) x V=-(C x V).
Lai nodrošinātu pilnīgu matemātisku precizitāti, ir arī jāapstiprina, ka 0 x V=0 jebkuram elementam. Ja sekojat loģikai, tad 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Tas nozīmē, ka reizinājuma 0 x V pievienošana nekādā veidā nemaina iestatīto summu. Galu galā šis produkts ir vienāds ar nulli.
Zinot visas šīs aksiomas, jūs varat secināt ne tikai to, cik daudz dod "pluss" ar "mīnusu", bet arī to, kas notiek, reizinot negatīvus skaitļus.
Divu skaitļu reizināšana un dalīšana ar "-" zīmi
Ja neiedziļināties matemātikānianses, varat mēģināt vienkāršāk izskaidrot darbību noteikumus ar negatīviem skaitļiem.
Pieņemsim, ka C - (-V)=D, tātad C=D + (-V), t.i., C=D - V. Pārsūtiet V un iegūstiet C + V=D. Tas ir, C + V=C - (-V). Šis piemērs izskaidro, kāpēc izteiksmē, kurā ir divi "mīnus" pēc kārtas, minētās zīmes ir jāmaina uz "plus". Tagad nodarbosimies ar reizināšanu.
(-C) x (-V)=D, izteiksmei var pievienot un atņemt divus identiskus reizinājumus, kas nemainīs tās vērtību: (-C) x (-V) + (C x V)) - (C x V)=D.
Atceroties noteikumus darbam ar iekavām, mēs iegūstam:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
No tā izriet, ka C x V=(-C) x (-V).
Līdzīgi mēs varam pierādīt, ka, dalot divus negatīvus skaitļus, tiks iegūts pozitīvs.
Vispārīgi matemātikas noteikumi
Protams, šis skaidrojums nav piemērots pamatskolas skolēniem, kuri tikai sāk apgūt abstraktus negatīvus skaitļus. Viņiem labāk ir paskaidrot uz redzamiem objektiem, manipulējot ar pazīstamo terminu caur skatu stiklu. Piemēram, tur atrodas izdomātas, bet neesošas rotaļlietas. Tos var attēlot ar "-" zīmi. Divu skatāmu objektu reizināšana pārnes tos uz citu pasauli, kas tiek pielīdzināta tagadnei, tas ir, rezultātā mums ir pozitīvi skaitļi. Bet abstrakta negatīva skaitļa reizināšana ar pozitīvu dod tikai visiem zināmo rezultātu. Jo "plus"reizinot ar "mīnus", iegūst "mīnusu". Tiesa, sākumskolas vecumā bērni nemaz necenšas iedziļināties visās matemātiskajās niansēs.
Lai gan, ja paskatās patiesība, daudziem cilvēkiem, pat ar augstāko izglītību, daudzi noteikumi paliek noslēpums. Ikviens uzskata par pašsaprotamu to, ko skolotāji viņiem māca, un nevēlas iedziļināties visās sarežģītībās, ar kurām saistīta matemātika. "Mīnuss" uz "mīnus" dod "plusu" - par to visi zina bez izņēmuma. Tas attiecas gan uz veseliem skaitļiem, gan daļskaitļiem.
