Fizika un matemātika nevar iztikt bez jēdziena "vektora daudzums". Tas ir jāzina un jāatpazīst, kā arī jāprot ar to operēt. Tas noteikti jāiemācās, lai neapjuktu un nepieļautu stulbas kļūdas.
Kā atšķirt skalāro vērtību no vektora lieluma?
Pirmajam vienmēr ir tikai viena īpašība. Šī ir tā skaitliskā vērtība. Lielākajai daļai skalāru var būt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības. Piemēri ir elektriskais lādiņš, darbs vai temperatūra. Taču ir skalāri, kas nevar būt negatīvi, piemēram, garums un masa.
Vektora lielumu papildus skaitliskajam daudzumam, kas vienmēr tiek ņemts modulo, raksturo arī virziens. Tāpēc to var attēlot grafiski, tas ir, bultiņas formā, kuras garums ir vienāds ar vērtības moduli, kas vērsta noteiktā virzienā.
Rakstot, katrs vektora lielums ir norādīts ar bultiņas zīmi uz burta. Ja mēs runājam par skaitlisko vērtību, tad bultiņa netiek rakstīta vai tā tiek ņemta modulo.
Kādas ir visbiežāk veiktās darbības ar vektoriem?
Pirmkārt, salīdzinājums. Tie var būt vai nebūt vienādi. Pirmajā gadījumā to moduļi ir vienādi. Bet tas nav vienīgais nosacījums. Tiem jābūt arī vienādiem vai pretējiem virzieniem. Pirmajā gadījumā tos vajadzētu saukt par vienādiem vektoriem. Otrajā tie ir pretēji. Ja nav izpildīts vismaz viens no norādītajiem nosacījumiem, tad vektori nav vienādi.
Tad nāk papildinājums. To var izdarīt saskaņā ar diviem noteikumiem: trīsstūri vai paralelogramu. Pirmais nosaka vispirms atlikt vienu vektoru, pēc tam no tā beigām otro. Papildinājuma rezultāts būs tāds, kas jāizvelk no pirmā sākuma līdz otrās beigām.
Paralelograma noteikumu var izmantot, ja fizikā jāpievieno vektoru lielumi. Atšķirībā no pirmā noteikuma, šeit tie ir jāatliek no viena punkta. Pēc tam izveidojiet tos līdz paralelogramam. Darbības rezultāts jāuzskata par paralelograma diagonāli, kas novilkta no tā paša punkta.
Ja vektora lielums tiek atņemts no cita, tad tie atkal tiek attēloti no viena punkta. Tikai rezultāts būs vektors, kas atbilst vektoram no otrās beigām līdz pirmā beigām.
Kādus vektorus pēta fizikā?
Ir tik, cik skalāru. Jūs varat vienkārši atcerēties, kādi vektoru lielumi pastāv fizikā. Vai arī zināt zīmes, pēc kurām tos var aprēķināt. Tiem, kas dod priekšroku pirmajam variantam, šāda tabula noderēs. Tas satur galvenos vektora fiziskos lielumus.
| Apzīmējums formulā | Vārds |
| v | ātrums |
| r | pārvietoties |
| a | paātrinājums |
| F | spēks |
| r | impulss |
| E | elektriskā lauka stiprums |
| B | magnētiskā indukcija |
| M | spēka brīdis |
Tagad nedaudz vairāk par dažiem no šiem daudzumiem.
Pirmā vērtība ir ātrums
Ir vērts sākt sniegt vektoru daudzumu piemērus no tā. Tas ir saistīts ar faktu, ka tas tiek pētīts starp pirmajiem.
Ātrums ir definēts kā ķermeņa kustības īpašība telpā. Tas norāda skaitlisko vērtību un virzienu. Tāpēc ātrums ir vektora lielums. Turklāt ir ierasts to iedalīt tipos. Pirmais ir lineārais ātrums. Tas tiek ieviests, apsverot taisnvirziena vienmērīgu kustību. Tajā pašā laikā tas izrādās vienāds ar ķermeņa noietā ceļa attiecību pret kustības laiku.
To pašu formulu var izmantot nevienmērīgai kustībai. Tikai tad tas būs vidējs. Turklāt izvēlētajam laika intervālam noteikti jābūt pēc iespējas īsākam. Kad laika intervālam ir tendence uz nulli, ātruma vērtība jau ir momentāna.
Ja ņem vērā patvaļīgu kustību, tad šeit ātrums vienmēr ir vektora lielums. Galu galā tas ir jāsadala komponentos, kas virzīti pa katru vektoru, kas virza koordinātu līnijas. Turklāt tas ir definēts kā rādiusa vektora atvasinājums, ņemot vērā laiku.
Otrā vērtība ir spēks
Tas nosaka trieciena intensitātes mēru, ko uz ķermeni iedarbojas citi ķermeņi vai lauki. Tā kā spēks ir vektora lielums, tam noteikti ir sava moduļa vērtība un virziens. Tā kā tas iedarbojas uz ķermeni, svarīgs ir arī punkts, uz kuru tiek pielikts spēks. Lai iegūtu vizuālu priekšstatu par spēka vektoriem, varat atsaukties uz šo tabulu.
| Jauda | Pieteikšanās punkts | Virziens |
| gravitācija | ķermeņa centrs | uz Zemes centru |
| gravitācija | ķermeņa centrs | uz cita ķermeņa centru |
| elastība | kontaktpunkts starp mijiedarbojošām struktūrām | pret ārējo ietekmi |
| berze | starp saskares virsmām | pretējā kustības virzienā |
Arī rezultējošais spēks ir arī vektora lielums. To definē kā visu mehānisko spēku summu, kas iedarbojas uz ķermeni. Lai to noteiktu, nepieciešams veikt saskaitīšanu pēc trīsstūra noteikuma principa. Tikai jums ir nepieciešams atlikt vektorus pēc kārtas no iepriekšējā beigām. Rezultāts būs tāds, kas savienos pirmā sākuma sākumu ar pēdējās beigām.
Trešā vērtība - nobīde
Kustības laikā ķermenis apraksta noteiktu līniju. To sauc par trajektoriju. Šī līnija var būt pilnīgi atšķirīga. Svarīgāks ir nevis tās izskats, bet gan kustības sākuma un beigu punkti. Viņi savienojassegmentu, ko sauc par pārvietojumu. Tas ir arī vektora lielums. Turklāt tas vienmēr tiek virzīts no kustības sākuma līdz vietai, kur kustība tika apturēta. Ierasts to apzīmēt ar latīņu burtu r.
Šeit var parādīties jautājums: "Vai ceļš ir vektora lielums?". Kopumā šis apgalvojums nav patiess. Ceļš ir vienāds ar trajektorijas garumu, un tam nav noteikta virziena. Izņēmums ir situācija, kad tiek apsvērta taisna kustība vienā virzienā. Tad nobīdes vektora modulis pēc vērtības sakrīt ar ceļu, un to virziens izrādās vienāds. Tāpēc, apsverot kustību pa taisnu līniju, nemainot kustības virzienu, ceļu var iekļaut vektora lielumu piemēros.
Ceturtā vērtība ir paātrinājums
Tas ir ātruma maiņas ātruma raksturlielums. Turklāt paātrinājumam var būt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības. Taisnajā kustībā tas tiek virzīts lielāka ātruma virzienā. Ja kustība notiek pa līknes trajektoriju, tad tās paātrinājuma vektors tiek sadalīts divās komponentēs, no kurām viena ir vērsta uz izliekuma centru pa rādiusu.
Atdaliet paātrinājuma vidējo un momentāno vērtību. Pirmais ir jāaprēķina kā ātruma izmaiņu attiecība noteiktā laika periodā pret šo laiku. Ja aplūkojamajam laika intervālam ir tendence uz nulli, tiek runāts par momentānu paātrinājumu.
Piektais lielums ir impulss
Tas ir savādāksauc arī par impulsu. Impulss ir vektora lielums, jo tas ir tieši saistīts ar ātrumu un spēku, kas pielikts ķermenim. Abiem ir virziens un tie dod impulsu.
Pēc definīcijas pēdējais ir vienāds ar ķermeņa masas un ātruma reizinājumu. Izmantojot ķermeņa impulsa jēdzienu, labi zināmo Ņūtona likumu var uzrakstīt citādi. Izrādās, ka impulsa izmaiņas ir vienādas ar spēka un laika reizinājumu.
Fizikā liela nozīme ir impulsa nezūdamības likumam, kas nosaka, ka slēgtā ķermeņu sistēmā tā kopējais impulss ir nemainīgs.
Esam ļoti īsi uzskaitījuši, kādus lielumus (vektorus) pēta fizikas kursā.
Neelastīga trieciena problēma
Stāvoklis. Uz sliedēm ir fiksēta platforma. Tam tuvojas automašīna ar ātrumu 4 m/s. Platformas un vagona masa ir attiecīgi 10 un 40 tonnas. Automašīna ietriecas platformā, notiek automātiskā sakabe. Nepieciešams aprēķināt vagona-platformas sistēmas ātrumu pēc trieciena.
Lēmums. Vispirms jāievada apzīmējums: automašīnas ātrums pirms trieciena - v1, automašīna ar platformu pēc sakabes - v, automašīnas svars m 1, platforma - m 2. Atbilstoši problēmas stāvoklim nepieciešams noskaidrot ātruma vērtību v.
Šādu uzdevumu risināšanas noteikumi paredz shematisku sistēmas attēlojumu pirms un pēc mijiedarbības. Ir saprātīgi virzīt OX asi pa sliedēm virzienā, kurā automašīna pārvietojas.
Šos apstākļos vagonu sistēmu var uzskatīt par slēgtu. To nosaka fakts, ka ārējāspēkus var neņemt vērā. Smaguma spēks un atbalsta reakcija ir līdzsvaroti, un berze uz sliedēm netiek ņemta vērā.
Saskaņā ar impulsa nezūdamības likumu to vektoru summa pirms automašīnas un platformas mijiedarbības ir vienāda ar kopējo sakabes vērtību pēc trieciena. Sākumā platforma nekustējās, tāpēc tās impulss bija nulle. Kustējās tikai automašīna, tās impulss ir m1 un v1.
Tā kā trieciens bija neelastīgs, tas ir, vagons satvērās ar platformu un pēc tam sāka ripot kopā tajā pašā virzienā, sistēmas impulss virzienu nemainīja. Bet tā nozīme ir mainījusies. Proti, vagona masas ar platformu un vajadzīgā ātruma summas reizinājums.
Var ierakstīt šo vienādību: m1v1=(m1 + m2)v. Tas attiecas uz impulsa vektoru projekciju uz izvēlētās ass. No tā ir viegli iegūt vienādību, kas būs nepieciešama, lai aprēķinātu nepieciešamo ātrumu: v=m1v1 / (m 1 + m2).
Saskaņā ar noteikumiem, jums vajadzētu konvertēt masas vērtības no tonnām uz kilogramiem. Tāpēc, aizstājot tos formulā, vispirms zināmās vērtības jāreizina ar tūkstoti. Vienkārši aprēķini dod skaitli 0,75 m/s.
Atbilde. Vagona ātrums ar platformu ir 0,75 m/s.
Problēma ar ķermeņa sadalīšanu daļās
Stāvoklis. Lidojošas granātas ātrums ir 20 m/s. Tas sadalās divās daļās. Pirmā masa ir 1,8 kg. Tā turpina kustību virzienā, kurā lidoja granāta ar ātrumu 50 m/s. Otrā fragmenta masa ir 1,2 kg. Kāds ir tā ātrums?
Lēmums. Apzīmēsim fragmentu masas ar burtiem m1 un m2. To ātrums būs attiecīgi v1 un v2. Granātas sākotnējais ātrums ir v. Problēmā jums jāaprēķina vērtība v2.
Lai lielākais fragments turpinātu kustību tajā pašā virzienā kā visa granāta, otrajam ir jālido pretējā virzienā. Ja izvēlamies ass virzienu kā sākotnējā impulsa virzienu, tad pēc pārtraukuma pa asi lido liels fragments, bet pret asi.
Šajā uzdevumā ir atļauts izmantot impulsa saglabāšanas likumu, jo granātas sprādziens notiek uzreiz. Tāpēc, neskatoties uz to, ka gravitācija iedarbojas uz granātu un tās daļām, tai nav laika rīkoties un mainīt impulsa vektora virzienu ar tās moduļa vērtību.
Momenta vektora vērtību summa pēc granātas sprādziena ir vienāda ar vērtību pirms tā. Ja mēs uzrakstām ķermeņa impulsa saglabāšanas likumu projekcijā uz OX asi, tad tas izskatīsies šādi: (m1 + m2)v=m 1v1 - m2v 2. No tā ir viegli izteikt vēlamo ātrumu. To nosaka pēc formulas: v2=((m1 + m2)v - m 1v1) / m2. Pēc skaitlisko vērtību aizstāšanas un aprēķiniem tiek iegūts 25 m/s.
Atbilde. Neliela fragmenta ātrums ir 25 m/s.
Problēma saistībā ar fotografēšanu no leņķa
Stāvoklis. Instruments ir uzstādīts uz platformas ar masu M. No tā tiek izšauts šāviņš ar masu m. Tas izlido leņķī α prethorizonts ar ātrumu v (norādīts attiecībā pret zemi). Pēc šāviena ir jānoskaidro platformas ātruma vērtība.
Lēmums. Šajā uzdevumā jūs varat izmantot impulsa saglabāšanas likumu projekcijā uz OX asi. Bet tikai gadījumā, ja ārējo rezultējošo spēku projekcija ir vienāda ar nulli.
Vērša ass virzienam jāizvēlas tā puse, kurā šāviņš lidos, un paralēli horizontālajai līnijai. Šajā gadījumā gravitācijas spēku projekcijas un balsta reakcija uz OX būs vienādas ar nulli.
Problēma tiks atrisināta vispārīgā veidā, jo nav konkrētu datu par zināmajiem daudzumiem. Atbilde ir formula.
Sistēmas impulss pirms šāviena bija vienāds ar nulli, jo platforma un šāviņš nekustējās. Lai platformas vēlamo ātrumu apzīmē ar latīņu burtu u. Tad tā impulsu pēc šāviena nosaka kā masas un ātruma projekcijas reizinājumu. Tā kā platforma ripo atpakaļ (pret OX ass virzienu), impulsa vērtība būs mīnus.
Šāviņa impulss ir tā masas un ātruma projekcijas reizinājums uz OX asi. Sakarā ar to, ka ātrums ir vērsts leņķī pret horizontu, tā projekcija ir vienāda ar ātrumu, kas reizināts ar leņķa kosinusu. Burtiskā vienlīdzībā tas izskatīsies šādi: 0=- Mu + mvcos α. No tā ar vienkāršiem pārveidojumiem iegūst atbildes formulu: u=(mvcos α) / M.
Atbilde. Platformas ātrumu nosaka pēc formulas u=(mvcos α) / M.
Upes šķērsošanas problēma
Stāvoklis. Upes platums visā tās garumā ir vienāds un vienāds ar l, tās krastiir paralēli. Mēs zinām ūdens plūsmas ātrumu upē v1 un pašu laivas ātrumu v2. viens). Šķērsojot, laivas priekšgals ir stingri vērsts uz pretējo krastu. Cik tālu tas tiks vests lejup pa straumi? 2). Kādā leņķī α jānovirza laivas priekšgals, lai tas sasniegtu pretējo krastu stingri perpendikulāri izbraukšanas vietai? Cik ilgs laiks būtu nepieciešams, lai veiktu šādu šķērsošanu?
Lēmums. viens). Pilns laivas ātrums ir divu lielumu vektoru summa. Pirmā no tām ir upes tecējums, kas virzīts gar krastiem. Otrais ir pašas laivas ātrums, perpendikulāri krastiem. Zīmējumā redzami divi līdzīgi trīsstūri. Pirmo veido upes platums un attālums, ko veic laiva. Otrais - ar ātruma vektoriem.
No tiem izriet šāds ieraksts: s / l=v1 / v2. Pēc transformācijas tiek iegūta vēlamās vērtības formula: s=l(v1 / v2).
2). Šajā problēmas versijā kopējais ātruma vektors ir perpendikulārs krastiem. Tas ir vienāds ar v1 un v2 vektoru summu. Leņķa sinuss, par kādu jānovirzās paša ātruma vektoram, ir vienāds ar moduļu attiecību v1 un v2. Lai aprēķinātu ceļojuma laiku, jums būs jādala upes platums ar aprēķināto kopējo ātrumu. Pēdējā vērtība tiek aprēķināta, izmantojot Pitagora teorēmu.
v=√(v22 – v1 2), tad t=l / (√(v22 – v1 2)).
Atbilde. viens). s=l(v1 / v2), 2). sin α=v1 /v2, t=l / (√(v22 – v 12)).
