Šajā rakstā ir aprakstīta viļņu funkcija un tās fiziskā nozīme. Aplūkota arī šī jēdziena pielietošana Šrēdingera vienādojuma ietvaros.
Zinātne ir uz kvantu fizikas atklāšanas robežas
Deviņpadsmitā gadsimta beigās jaunieši, kuri vēlējās saistīt savu dzīvi ar zinātni, nevēlējās kļūt par fiziķiem. Izskanēja viedoklis, ka visas parādības jau ir atklātas un lielu izrāvienu šajā jomā vairs nevar būt. Tagad, neskatoties uz cilvēcisko zināšanu šķietamo pilnīgumu, neviens neuzdrošinās runāt šādā veidā. Jo tas notiek bieži: teorētiski tiek prognozēta parādība vai efekts, bet cilvēkiem nav pietiekami daudz tehnisko un tehnoloģisko spēku, lai tos pierādītu vai atspēkotu. Piemēram, gravitācijas viļņus Einšteins paredzēja vairāk nekā pirms simts gadiem, bet pierādīt to esamību kļuva iespējams tikai pirms gada. Tas attiecas arī uz subatomisko daļiņu pasauli (proti, uz tām attiecas tāds jēdziens kā viļņu funkcija): kamēr zinātnieki nesaprata, ka atoma uzbūve ir sarežģīta, viņiem nebija nepieciešams pētīt tik mazu objektu uzvedību.
Spektri un fotogrāfija
Nospiediet uzkvantu fizikas attīstība bija fotografēšanas tehnikas attīstība. Līdz divdesmitā gadsimta sākumam attēlu uzņemšana bija apgrūtinoša, laikietilpīga un dārga: kamera svēra desmitiem kilogramu, un modelēm vienā pozā bija jāstāv pusstundu. Turklāt mazākā kļūda, rīkojoties ar trauslām stikla plāksnēm, kas pārklātas ar gaismjutīgu emulsiju, izraisīja neatgriezenisku informācijas zudumu. Taču pamazām ierīces kļuva vieglākas, slēdža ātrums – arvien mazāks, un izdruku saņemšana – arvien perfektāka. Un visbeidzot kļuva iespējams iegūt dažādu vielu spektru. Jautājumi un pretrunas, kas radās pirmajās teorijās par spektru dabu, radīja pilnīgi jaunu zinātni. Daļiņas viļņu funkcija un tās Šrēdingera vienādojums kļuva par pamatu mikropasaules uzvedības matemātiskajam aprakstam.
Daļiņu-viļņu dualitāte
Pēc atoma struktūras noteikšanas radās jautājums: kāpēc elektrons nekrīt uz kodola? Galu galā, saskaņā ar Maksvela vienādojumiem, jebkura kustīga lādēta daļiņa izstaro, tāpēc zaudē enerģiju. Ja tas tā būtu attiecībā uz elektroniem kodolā, Visums, kā mēs to zinām, neizturētu ilgi. Atcerieties, ka mūsu mērķis ir viļņu funkcija un tās statistiskā nozīme.
Palīdzēja ģeniāls zinātnieku minējums: elementārdaļiņas ir gan viļņi, gan daļiņas (ķermeņi). To īpašības ir gan masa ar impulsu, gan viļņa garums ar frekvenci. Turklāt divu iepriekš nesaderīgu īpašību klātbūtnes dēļ elementārdaļiņas ir ieguvušas jaunas īpašības.
Viens no tiem ir grūti iedomāties griešanās. Pasaulēmazākas daļiņas, kvarki, šo īpašību ir tik daudz, ka tiem tiek doti absolūti neticami nosaukumi: garša, krāsa. Ja lasītājs tos sastopas grāmatā par kvantu mehāniku, ļaujiet viņam atcerēties: tie nepavisam nav tādi, kā šķiet pirmajā acu uzmetienā. Tomēr, kā aprakstīt šādas sistēmas uzvedību, kur visiem elementiem ir dīvains īpašību kopums? Atbilde ir nākamajā sadaļā.
Šrēdingera vienādojums
Atrodiet stāvokli, kurā atrodas elementārdaļiņa (un vispārinātā veidā kvantu sistēma), pieļauj Ervina Šrēdingera vienādojumu:
i ħ[(d/dt) Ψ]=Ĥ ψ.
Apzīmējumi šajā proporcijā ir šādi:
- ħ=h/2 π, kur h ir Planka konstante.
- Ĥ - Hamiltons, sistēmas kopējais enerģijas operators.
- Ψ ir viļņu funkcija.
Mainot koordinātas, kurās šī funkcija ir atrisināta, un nosacījumus atbilstoši daļiņas veidam un laukam, kurā tā atrodas, var iegūt aplūkojamās sistēmas uzvedības likumu.
Kvantu fizikas jēdzieni
Lai lasītāju nemaldina lietoto terminu šķietamā vienkāršība. Vārdi un izteicieni, piemēram, "operators", "kopējā enerģija", "vienības šūna" ir fiziski termini. To vērtības ir jāprecizē atsevišķi, un labāk ir izmantot mācību grāmatas. Tālāk mēs sniegsim viļņu funkcijas aprakstu un formu, taču šim rakstam ir apskata raksturs. Lai dziļāk izprastu šo jēdzienu, ir nepieciešams izpētīt matemātisko aparātu noteiktā līmenī.
Viļņu funkcija
Viņas matemātiskā izteiksmeir forma
|ψ(t)>=ʃ Ψ(x, t)|x> dx.
Elektrona vai jebkuras citas elementārdaļiņas viļņa funkciju vienmēr apraksta ar grieķu burtu Ψ, tāpēc dažreiz to sauc arī par psi-funkciju.
Vispirms jāsaprot, ka funkcija ir atkarīga no visām koordinātām un laika. Tātad Ψ(x, t) faktiski ir Ψ(x1, x2… x, t). Svarīga piezīme, jo Šrēdingera vienādojuma risinājums ir atkarīgs no koordinātām.
Tālāk ir jāprecizē, ka |x> nozīmē izvēlētās koordinātu sistēmas bāzes vektoru. Tas ir, atkarībā no tā, kas tieši ir jāiegūst, impulss vai varbūtība |x> izskatīsies | x1, x2, …, x >. Acīmredzot n būs atkarīgs arī no izvēlētās sistēmas minimālās vektora bāzes. Tas ir, parastajā trīsdimensiju telpā n=3. Nepieredzējušam lasītājam paskaidrosim, ka visas šīs ikonas pie x indikatora nav tikai kaprīze, bet gan konkrēta matemātiska darbība. To nebūs iespējams saprast bez vissarežģītākajiem matemātiskajiem aprēķiniem, tāpēc ļoti ceram, ka interesenti paši uzzinās tās nozīmi.
Visbeidzot jāpaskaidro, ka Ψ(x, t)=.
Viļņu funkcijas fiziskā būtība
Neskatoties uz šī daudzuma pamatvērtību, tam pašam par pamatu nav parādības vai jēdziena. Viļņu funkcijas fiziskā nozīme ir tās kopējā moduļa kvadrāts. Formula izskatās šādi:
|Ψ (x1, x2, …, x , t)| 2=ω, kur ω ir varbūtības blīvuma vērtība. Diskrētu spektru (nevis nepārtrauktu) gadījumā šī vērtība kļūst vienkārši par varbūtību.
Viļņu funkcijas fiziskās nozīmes sekas
Šādai fiziskai nozīmei ir tālejoša ietekme uz visu kvantu pasauli. Kā kļūst skaidrs no ω vērtības, visi elementārdaļiņu stāvokļi iegūst varbūtības nokrāsu. Acīmredzamākais piemērs ir elektronu mākoņu telpiskais sadalījums orbītās ap atoma kodolu.
Ņemsim divus elektronu hibridizācijas veidus atomos ar visvienkāršākajām mākoņu formām: s un p. Pirmā tipa mākoņiem ir sfēriska forma. Bet, ja lasītājs atceras no fizikas mācību grāmatām, šie elektronu mākoņi vienmēr tiek attēloti kā kaut kāds izplūdis punktu kopums, nevis kā gluda sfēra. Tas nozīmē, ka noteiktā attālumā no kodola atrodas zona ar vislielāko varbūtību sastapties ar s-elektronu. Tomēr nedaudz tuvāk un nedaudz tālāk šī varbūtība nav nulle, tā ir tikai mazāka. Šajā gadījumā p-elektroniem elektronu mākoņa forma ir attēlota kā nedaudz neskaidra hantele. Tas ir, ir diezgan sarežģīta virsma, uz kuras elektrona atrašanas iespējamība ir visaugstākā. Bet pat tuvu šai “hantelei”, gan tālāk, gan tuvāk kodolam, šāda varbūtība nav vienāda ar nulli.
Viļņu funkcijas normalizācija
Pēdējais nozīmē nepieciešamību normalizēt viļņu funkciju. Ar normalizāciju tiek saprasta tāda dažu parametru "pielāgošana", kurā tā ir patiesakaut kāda attiecība. Ja ņemam vērā telpiskās koordinātas, tad varbūtībai atrast doto daļiņu (piemēram, elektronu) esošajā Visumā jābūt vienādai ar 1. Formula izskatās šādi:
ʃV Ψ Ψ dV=1.
Tādējādi tiek izpildīts enerģijas nezūdamības likums: ja mēs meklējam konkrētu elektronu, tam pilnībā jāatrodas noteiktā telpā. Citādi Šrēdingera vienādojuma risināšanai vienkārši nav jēgas. Un nav svarīgi, vai šī daļiņa atrodas zvaigznes iekšpusē vai milzīgā kosmiskā tukšumā, tai kaut kur ir jābūt.
Nedaudz augstāk mēs minējām, ka mainīgie, no kuriem atkarīga funkcija, var būt arī netelpiskas koordinātas. Šajā gadījumā normalizēšana tiek veikta pār visiem parametriem, no kuriem ir atkarīga funkcija.
Tūlītēja ceļošana: triks vai realitāte?
Kvantu mehānikā matemātiku no fiziskās nozīmes atdalīt ir neticami grūti. Piemēram, kvantu ieviesa Planks, lai atvieglotu viena vienādojuma matemātisko izteiksmi. Tagad daudzu lielumu un jēdzienu (enerģija, leņķiskais impulss, lauks) diskrētuma princips ir mūsdienu pieejas mikropasaules izpētei pamatā. Ψ ir arī šis paradokss. Saskaņā ar vienu no Šrēdingera vienādojuma risinājumiem, iespējams, ka mērījuma laikā sistēmas kvantu stāvoklis mainās acumirklī. Šo parādību parasti sauc par viļņu funkcijas samazināšanos vai sabrukumu. Ja tas ir iespējams patiesībā, kvantu sistēmas spēj pārvietoties bezgalīgā ātrumā. Bet ātruma ierobežojums reāliem mūsu Visuma objektiemnemainīgs: nekas nevar ceļot ātrāk par gaismu. Šī parādība nekad nav fiksēta, taču teorētiski to vēl nav izdevies atspēkot. Laika gaitā, iespējams, šis paradokss atrisināsies: vai nu cilvēcei būs instruments, kas šādu parādību nofiksēs, vai arī būs kāds matemātisks triks, kas pierādīs šī pieņēmuma nekonsekvenci. Ir trešā iespēja: cilvēki radīs šādu parādību, bet tajā pašā laikā Saules sistēma iekritīs mākslīgā melnajā caurumā.
Daudzdaļiņu sistēmas (ūdeņraža atoma) viļņu funkcija
Kā mēs esam norādījuši visā rakstā, psi funkcija apraksta vienu elementārdaļiņu. Bet, rūpīgāk aplūkojot, ūdeņraža atoms izskatās kā sistēma, kurā ir tikai divas daļiņas (viens negatīvs elektrons un viens pozitīvs protons). Ūdeņraža atoma viļņu funkcijas var raksturot kā divu daļiņu vai ar blīvuma matricas tipa operatoru. Šīs matricas nav gluži psi funkcijas paplašinājums. Drīzāk tie parāda atbilstību starp varbūtību atrast daļiņu vienā un otrā stāvoklī. Ir svarīgi atcerēties, ka problēma tiek atrisināta tikai diviem ķermeņiem vienlaikus. Blīvuma matricas ir piemērojamas daļiņu pāriem, taču tās nav iespējamas sarežģītākām sistēmām, piemēram, ja mijiedarbojas trīs vai vairāk ķermeņi. Šajā faktā var izsekot neticamai līdzībai starp "rupjāko" mehāniku un ļoti "smalko" kvantu fiziku. Tāpēc nevajadzētu domāt, ka, tā kā kvantu mehānika pastāv, parastajā fizikā jaunas idejas nevar rasties. Interesantais slēpjas aiz jebkurapagriežot matemātiskās manipulācijas.
