Kas ir aritmētika? Kad cilvēce sāka lietot skaitļus un strādāt ar tiem? Kur slēpjas saknes tādiem sadzīviskiem jēdzieniem kā skaitļi, daļskaitļi, atņemšana, saskaitīšana un reizināšana, ko cilvēks padarījis par savas dzīves un pasaules uzskatu neatņemamu sastāvdaļu? Sengrieķu prāti apbrīnoja tādas zinātnes kā matemātika, aritmētika un ģeometrija kā skaistākās cilvēka loģikas simfonijas.
Varbūt aritmētika nav tik dziļa kā citas zinātnes, bet kas ar tām notiktu, ja cilvēks aizmirstu elementāro reizināšanas tabulu? Mums ierastā loģiskā domāšana, izmantojot skaitļus, daļskaitļus un citus rīkus, cilvēkiem nebija viegla un ilgu laiku bija nepieejama mūsu senčiem. Patiesībā pirms aritmētikas attīstības neviena cilvēka zināšanu joma nebija īsti zinātniska.
Aritmētika ir matemātikas ABC
Aritmētika ir skaitļu zinātne, ar kuru ikviens cilvēks sāk iepazīties ar aizraujošo matemātikas pasauli. Kā teica M. V. Lomonosovs, aritmētika ir mācīšanās vārti, kas paver mums ceļu uz pasaules zināšanām. Bet viņam ir taisnībaVai zināšanas par pasauli var atdalīt no skaitļu un burtu, matemātikas un runas zināšanām? Varbūt senos laikos, bet ne mūsdienu pasaulē, kur zinātnes un tehnikas straujā attīstība diktē savus likumus.
Grieķu izcelsmes vārds "aritmētika" (grieķu "aritmoss") nozīmē "skaitlis". Viņa pēta skaitļus un visu, ko ar tiem var saistīt. Šī ir skaitļu pasaule: dažādas darbības ar skaitļiem, skaitļu likumi, uzdevumu risināšana, kas saistīti ar reizināšanu, atņemšanu utt.
Ir vispārpieņemts, ka aritmētika ir matemātikas sākuma posms un stabils pamats tās sarežģītākām sadaļām, piemēram, algebrai, matemātiskajai analīzei, augstākajai matemātikai utt.
Galvenais aritmētikas objekts
Aritmētikas pamats ir vesels skaitlis, kura īpašības un modeļi tiek aplūkoti augstākajā aritmētikā vai skaitļu teorijā. Faktiski visas ēkas stiprums - matemātika - ir atkarīgs no tā, cik pareiza ir pieeja, uzskatot tik mazu bloku par naturālu skaitli.
Tāpēc uz jautājumu par to, kas ir aritmētika, var atbildēt vienkārši: tā ir skaitļu zinātne. Jā, par parastajiem septiņiem, deviņiem un visu šo daudzveidīgo kopienu. Un tāpat kā nevar uzrakstīt labu vai pat visviduvāko dzeju bez elementāra ābeces, nevar atrisināt pat elementāru uzdevumu bez aritmētikas. Tāpēc visas zinātnes virzījās uz priekšu tikai pēc aritmētikas un matemātikas attīstības, kas pirms tam bija tikai pieņēmumu kopums.
Aritmētika ir fantoma zinātne
Kas ir aritmētika – dabaszinātne vai fantoms? Faktiski, kā apgalvoja senie grieķu filozofi, patiesībā ne skaitļi, ne skaitļi nepastāv. Tas ir tikai fantoms, kas rodas cilvēka domāšanā, aplūkojot vidi ar tās procesiem. Patiešām, kas ir skaitlis? Nekur mēs neredzam neko tādu, ko varētu saukt par skaitli, drīzāk skaitlis ir cilvēka prāta veids, kā izpētīt pasauli. Vai varbūt tā ir mūsu pašu izpēte no iekšpuses? Filozofi par to ir strīdējušies daudzus gadsimtus pēc kārtas, tāpēc mēs neuzņemamies sniegt izsmeļošu atbildi. Tā vai citādi aritmētikai ir izdevies ieņemt savu vietu tik stingri, ka mūsdienu pasaulē neviens nevar tikt uzskatīts par sociāli pielāgotu, nezinot tās pamatus.
Kā parādījās dabiskais skaitlis
Protams, galvenais objekts, ar kuru darbojas aritmētika, ir naturāls skaitlis, piemēram, 1, 2, 3, 4, …, 152… utt. Naturālo skaitļu aritmētika ir parastu objektu, piemēram, govju pļavā, skaitīšanas rezultāts. Tomēr definīcija "daudz" vai "maz" kādreiz vairs nebija piemērota cilvēkiem, un viņiem bija jāizgudro progresīvāki skaitīšanas paņēmieni.
Bet īstais izrāviens notika tad, kad cilvēka doma sasniedza punktu, ka ir iespējams apzīmēt 2 kilogramus un 2 ķieģeļus un 2 daļas ar tādu pašu skaitli "divi". Fakts ir tāds, ka jums ir nepieciešams abstrahēties no objektu formām, īpašībām un nozīmes, tad jūs varat veikt dažas darbības ar šiem objektiem naturālu skaitļu veidā. Tā dzima skaitļu aritmētika, kastālāk attīstīta un paplašināta, ieņemot arvien lielākas pozīcijas sabiedrības dzīvē.
Tādiem padziļinātiem skaitļu jēdzieniem kā nulle un negatīvs skaitlis, daļskaitļi, skaitļu apzīmējumi pēc skaitļiem un citos veidos ir bagāta un interesanta attīstības vēsture.
Aritmētiski un praktiski ēģiptieši
Divi vecākie cilvēku pavadoņi apkārtējās pasaules izzināšanā un ikdienas problēmu risināšanā ir aritmētika un ģeometrija.
Tiek uzskatīts, ka aritmētikas vēsture aizsākās Senajos Austrumos: Indijā, Ēģiptē, Babilonā un Ķīnā. Tādējādi ēģiptiešu izcelsmes Rindas papiruss (tā nosaukts, jo piederēja tāda paša nosaukuma īpašniekam), kas datēts ar 20. gs. BC, papildus citiem vērtīgiem datiem, satur vienas daļdaļas izvēršanu daļskaitļu summā ar dažādiem saucējiem un skaitītāju, kas vienāds ar vienu.
Piemēram: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Bet kāda jēga no tik sarežģītas sadalīšanās? Fakts ir tāds, ka ēģiptiešu pieeja nepieļāva abstraktas domas par skaitļiem, gluži pretēji, aprēķini tika veikti tikai praktiskiem nolūkiem. Tas ir, ēģiptietis nodarbosies ar tādu lietu kā aprēķini, tikai lai, piemēram, uzceltu kapu. Bija jāaprēķina konstrukcijas malas garums, un tas piespieda cilvēku apsēsties aiz papirusa. Kā redzat, Ēģiptes progresu aprēķinos izraisīja masveida celtniecība, nevis mīlestība pret zinātni.
Šā iemesla dēļ uz papirusiem atrastos aprēķinus nevar saukt par pārdomām par frakciju tēmu. Visticamāk, šī ir praktiska sagatavošanās, kas palīdzēja nākotnē.atrisināt uzdevumus ar daļskaitļiem. Senie ēģiptieši, kuri nezināja reizināšanas tabulas, veica diezgan garus aprēķinus, sadalījās daudzos apakšuzdevumos. Varbūt šis ir viens no šiem apakšuzdevumiem. Ir viegli redzēt, ka aprēķini ar šādām sagatavēm ir ļoti darbietilpīgi un neperspektīvi. Varbūt šī iemesla dēļ mēs neredzam Senās Ēģiptes lielo ieguldījumu matemātikas attīstībā.
Senā Grieķija un filozofiskā aritmētika
Daudzas zināšanas par Senajiem Austrumiem veiksmīgi apguva senie grieķi, slaveni abstraktu, abstraktu un filozofisku pārdomu cienītāji. Viņus ne mazāk interesēja prakse, taču ir grūti atrast labākos teorētiķus un domātājus. Tas ir devis zinātnei labumu, jo nav iespējams iedziļināties aritmētikā, neatraujot to no realitātes. Protams, jūs varat pavairot 10 govis un 100 litrus piena, bet jūs netiksiet tālu.
Dziļi domājošie grieķi atstāja ievērojamas pēdas vēsturē, un viņu raksti ir nonākuši līdz mums:
- Eiklids un elementi.
- Pitagors.
- Arhimēds.
- Eratostens.
- Zeno.
- Anaksagoras.
Un, protams, grieķi, kas visu pārvērta filozofijā, un jo īpaši Pitagora darba turpinātāji, bija tik ļoti aizrāvušies ar skaitļiem, ka uzskatīja tos par pasaules harmonijas noslēpumu. Skaitļi ir pētīti un pētīti tiktāl, ka dažiem no tiem un to pāriem ir piešķirtas īpašas īpašības. Piemēram:
- Perfekti skaitļi ir tie, kas ir vienādi ar visu to dalītāju summu, izņemot pašu skaitli (6=1+2+3).
- Draudzīgi skaitļi ir tie skaitļi, no kuriem viensir vienāds ar visu otrās dalītāju summu un otrādi (pitagorieši zināja tikai vienu šādu pāri: 220 un 284).
Grieķi, kuri uzskatīja, ka zinātne ir jāmīl, nevis peļņas nolūkos, guva lielus panākumus, pētot, spēlējot un pievienojot skaitļus. Jāatzīmē, ka ne visi viņu pētījumi tika plaši izmantoti, daži no tiem palika tikai "skaistumam".
Viduslaiku austrumu domātāji
Tāpat viduslaikos aritmētika ir parādā savu attīstību austrumu laikabiedriem. Indiāņi mums iedeva skaitļus, kurus mēs aktīvi lietojam, tādu jēdzienu kā "nulle" un skaitļošanas pozicionālo versiju, kas pazīstama mūsdienu uztverei. No Al-Kaši, kurš strādāja Samarkandā 15. gadsimtā, mēs mantojām decimāldaļdaļas, bez kurām ir grūti iedomāties mūsdienu aritmētiku.
Daudzos veidos Eiropas iepazīšanās ar Austrumu sasniegumiem kļuva iespējama, pateicoties itāļu zinātnieka Leonardo Fibonači darbam, kurš uzrakstīja darbu "Abakusa grāmata", iepazīstinot ar austrumu jauninājumiem. Tas kļuva par algebras un aritmētikas attīstības, pētniecības un zinātniskās darbības stūrakmeni Eiropā.
Krievu aritmētika
Un, visbeidzot, aritmētika, kas atrada savu vietu un iesakņojās Eiropā, sāka izplatīties krievu zemēs. Pirmā krievu aritmētika tika izdota 1703. gadā – tā bija Leontija Magņitska grāmata par aritmētiku. Ilgu laiku tā bija vienīgā matemātikas mācību grāmata. Tas satur sākotnējos algebras un ģeometrijas momentus. Pirmās aritmētikas mācību grāmatas Krievijā piemēros izmantotie skaitļi ir arābu valodā. Lai gan arābu cipari ir redzēti jau agrāk, uz gravējumiem, kas datēti ar 17. gadsimtu.
Pati grāmata ir dekorēta ar Arhimēda un Pitagora attēliem, bet pirmajā lapā - aritmētikas attēls sievietes formā. Viņa sēž tronī, zem viņas ebreju valodā ir rakstīts vārds, kas apzīmē Dieva vārdu, un uz kāpnēm, kas ved uz troni, ir ierakstīti vārdi "dalīšana", "reizināšana", "saskaitīšana" utt. patiesības kuras tagad tiek uzskatītas par ierastām.
600 lappušu mācību grāmata aptver gan pamatus, piemēram, saskaitīšanas un reizināšanas tabulas, gan lietojumprogrammas navigācijas zinātnēs.
Nav pārsteidzoši, ka autors savai grāmatai izvēlējās grieķu domātāju tēlus, jo viņš pats bija aritmētikas skaistuma valdzinājums, sakot: "Aritmētika ir skaitītājs, ir māksla godīga, neapskaužama…". Šāda pieeja aritmētikai ir diezgan pamatota, jo tieši tās plašo ieviešanu var uzskatīt par sākumu straujai zinātniskās domas attīstībai Krievijā un vispārējā izglītībā.
Atcelt pirmskaitļus
Pirmskaitlis ir naturāls skaitlis, kuram ir tikai 2 pozitīvi dalītāji: 1 un pats. Visi pārējie skaitļi, izņemot 1, tiek saukti par saliktiem. Pirmskaitļu piemēri: 2, 3, 5, 7, 11 un visi pārējie, kuriem nav citu dalītāju, izņemot 1 un sevi.
Kas attiecas uz 1. numuru, tas ir īpašā kontā - ir vienošanās, ka tas nav uzskatāms ne par vienkāršu, ne saliktu. No pirmā acu uzmetiena vienkāršs skaitlis sevī slēpj daudz neatrisinātu noslēpumu.
Eiklida teorēma saka, ka ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu, un Eratostens izgudroja īpašu aritmētisko "sietu", kas izslēdz ne-pirmskaitļus, atstājot tikai vienkāršus.
Tā būtība ir pasvītrot pirmo nepārsvītroto skaitli un pēc tam izsvītrot tos, kas ir tā reizinātāji. Mēs atkārtojam šo procedūru daudzas reizes - un mēs iegūstam pirmskaitļu tabulu.
Aritmētikas pamatteorēma
No novērojumiem par pirmskaitļiem īpaši jāmin aritmētikas pamatteorēma.
Aritmētikas pamatteorēma saka, ka jebkurš vesels skaitlis, kas lielāks par 1, ir vai nu pirmskaitlis, vai arī to var unikālā veidā sadalīt pirmskaitļu reizinājumā līdz faktoru secībai.
Galvenā aritmētikas teorēma ir izrādījusies diezgan apgrūtinoša, un tās izpratne vairs neizskatās pēc vienkāršākajiem pamatiem.
No pirmā acu uzmetiena pirmskaitļi ir elementārs jēdziens, taču tā nav. Arī fizika savulaik uzskatīja atomu par elementāru, līdz tajā atrada visu Visumu. Brīnišķīgs matemātiķa Dona Zagira stāsts "Pirmie piecdesmit miljoni pirmskaitļu" ir veltīts pirmskaitļiem.
No "trīs āboliem" līdz dedukcijas likumiem
Tas, ko patiesi var saukt par visas zinātnes nostiprinātu pamatu, ir aritmētikas likumi. Pat bērnībā ikviens saskaras ar aritmētiku, pētot leļļu kāju un roku skaitu,kubu, ābolu utt. skaits. Tā mēs mācāmies aritmētiku, kas pēc tam nonāk sarežģītākos noteikumos.
Visa mūsu dzīve iepazīstina mūs ar aritmētikas likumiem, kas parastajam cilvēkam ir kļuvuši par visnoderīgāko no visa, ko dod zinātne. Ciparu mācība ir "aritmētika-mazulis", kas agrā bērnībā iepazīstina cilvēku ar skaitļu pasauli skaitļu formā.
Augstākā aritmētika ir deduktīva zinātne, kas pēta aritmētikas likumus. Mēs zinām lielāko daļu no tiem, lai gan, iespējams, nezinām precīzu to formulējumu.
Saskaitīšanas un reizināšanas likums
Divus jebkurus naturālus skaitļus a un b var izteikt kā summu a+b, kas arī būs naturāls skaitlis. Uz pievienošanu attiecas šādi tiesību akti:
- Komutatīvais, kas saka, ka summa nemainās no terminu pārkārtošanas vai a+b=b+a.
- Asociatīvais, kas saka, ka summa nav atkarīga no tā, kā termini ir grupēti pa vietām, vai a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Aritmētikas likumi, piemēram, saskaitīšana, ir vieni no elementārākajiem, taču tos izmanto visas zinātnes, nemaz nerunājot par sadzīvi.
Divus naturālus skaitļus a un b var izteikt kā reizinājumu ab vai ab, kas arī ir naturāls skaitlis. Uz produktu attiecas tie paši komutācijas un asociatīvie likumi, kas attiecas uz pievienošanu:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Es brīnoska pastāv likums, kas apvieno saskaitīšanu un reizināšanu, ko sauc arī par sadales vai sadales likumu:
a(b+c)=ab+ac
Šis likums patiesībā māca mums strādāt ar iekavām, tās paplašinot, tādējādi mēs varam strādāt ar sarežģītākām formulām. Šie ir likumi, kas vedīs mūs cauri dīvainajai un sarežģītajai algebras pasaulei.
Aritmētiskās secības likums
Kārtības likumu cilvēku loģika izmanto katru dienu, salīdzinot pulksteņus un skaitot banknotes. Un tomēr tas ir jāformalizē īpašu formulējumu veidā.
Ja mums ir divi naturāli skaitļi a un b, tad ir iespējamas šādas iespējas:
- a ir vienāds ar b vai a=b;
- a ir mazāks par b vai a < b;
- a ir lielāks par b vai a > b.
No trim iespējām tikai viena var būt godīga. Pamatlikums, kas regulē kārtību, saka: ja a < b un b < c, tad a< c.
Ir arī likumi, kas attiecas uz reizināšanas un saskaitīšanas secību: ja a< ir b, tad a + c < b+c un ac< bc.
Aritmētikas likumi māca strādāt ar cipariem, zīmēm un iekavām, pārvēršot visu harmoniskā skaitļu simfonijā.
Pozicionālais un nepozicionālais aprēķins
Var teikt, ka skaitļi ir matemātiska valoda, no kuras ērtībām daudz kas ir atkarīgs. Ir daudz skaitļu sistēmu, kas, tāpat kā dažādu valodu alfabēti, atšķiras viena no otras.
Apskatīsim skaitļu sistēmas no pozīcijas ietekmes uz kvantitatīvo vērtību viedokļacipari šajā pozīcijā. Tā, piemēram, romiešu sistēma ir nepozicionāla, kur katrs skaitlis ir kodēts ar noteiktu speciālo rakstzīmju kopu: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Tie ir vienādi attiecīgi ar skaitļiem 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. Šādā sistēmā skaitlis nemaina savu kvantitatīvo definīciju atkarībā no tā, kurā pozīcijā tas atrodas: pirmajā, otrajā utt. Lai iegūtu citus skaitļus, jums jāpievieno bāzes skaitļi. Piemēram:
- DCC=700.
- CCM=800.
Ciparu sistēma, kas mums ir vairāk pazīstama, izmantojot arābu ciparus, ir pozicionāla. Šādā sistēmā skaitļa cipars nosaka ciparu skaitu, piemēram, trīsciparu skaitļi: 333, 567 utt. Jebkura cipara svars ir atkarīgs no pozīcijas, kurā atrodas šis vai cits cipars, piemēram, otrajā pozīcijā esošajam ciparam 8 ir vērtība 80. Tas ir raksturīgi decimālajai sistēmai, ir arī citas pozīciju sistēmas, piemēram,, binārs.
Binārā aritmētika
Mēs pazīstam decimālo sistēmu, kas sastāv no viencipara skaitļiem un daudzciparu skaitļiem. Cipars pa kreisi no daudzciparu skaitļa ir desmit reizes nozīmīgāks nekā labajā pusē. Tātad, mēs esam pieraduši lasīt 2, 17, 467 utt. Sadaļai ar nosaukumu "binārā aritmētika" ir pavisam cita loģika un pieeja. Tas nav pārsteidzoši, jo binārā aritmētika tika izveidota nevis cilvēku loģikai, bet gan datorloģikai. Ja skaitļu aritmētika radās no objektu skaitīšanas, kas tālāk tika abstrahēta no objekta īpašībām uz "pliku" aritmētiku, tad ar datoru tas nedarbosies. Lai varētu dalītiesar savām zināšanām par datoru cilvēkam bija jāizgudro šāds aprēķina modelis.
Binārā aritmētika darbojas ar bināro alfabētu, kas sastāv tikai no 0 un 1. Un šī alfabēta lietojumu sauc par bināro sistēmu.
Atšķirība starp bināro aritmētiku un decimālo aritmētiku ir tāda, ka pozīcijas nozīme kreisajā pusē vairs nav 10, bet 2 reizes. Binārie skaitļi ir 111, 1001 utt. Kā saprast šādus skaitļus? Tātad, apsveriet skaitli 1100:
- Pirmais cipars kreisajā pusē ir 18=8, atceroties, ka ceturtais cipars, kas nozīmē, ka tas jāreizina ar 2, mēs iegūstam pozīciju 8.
- Otrais cipars 14=4 (4. pozīcija).
- Trešais cipars 02=0 (2. pozīcija).
- Ceturtais cipars 01=0 (1. pozīcija).
- Tātad mūsu skaitlis ir 1100=8+4+0+0=12.
Tas ir, pārejot uz jaunu ciparu kreisajā pusē, tā nozīme binārajā sistēmā tiek reizināta ar 2, bet decimāldaļā - ar 10. Šādai sistēmai ir viens mīnuss: tas ir pārāk liels cipari, kas nepieciešami ciparu rakstīšanai. Piemēri decimālskaitļu attēlošanai kā bināri skaitļi ir atrodami šajā tabulā.
Decimālskaitļi binārā formā ir parādīti zemāk.
Tiek izmantotas arī oktālās un heksadecimālās sistēmas.
Šī noslēpumainā aritmētika
Kas ir aritmētika, "divreiz divi" vai neizpētīti skaitļu noslēpumi? Kā redzat, aritmētika no pirmā acu uzmetiena var šķist vienkārša, taču tās nepārprotamā vieglums ir mānīgs. To var pētīt arī bērni kopā ar Pūces tanti no plkstmultfilma "Aritmētika-mazulis", un jūs varat iegremdēties dziļi zinātniskā izpētē gandrīz filozofiskā kārtībā. Vēsturē viņa ir pārgājusi no objektu skaitīšanas uz skaitļu skaistuma pielūgšanu. Ir zināms tikai viens: līdz ar aritmētikas pamatpostulātu noteikšanu visa zinātne var paļauties uz savu stipro plecu.
