Simboliskā loģika ir zinātnes nozare, kas pēta pareizās spriešanas formas. Tam ir būtiska loma filozofijā, matemātikā un datorzinātnēs. Tāpat kā filozofijai un matemātikai, arī loģikai ir senas saknes. Agrākie traktāti par pareizas spriešanas būtību tika uzrakstīti pirms vairāk nekā 2000 gadiem. Daži no slavenākajiem senās Grieķijas filozofiem rakstīja par saglabāšanas būtību pirms vairāk nekā 2300 gadiem. Senie ķīniešu domātāji apmēram tajā pašā laikā rakstīja par loģiskiem paradoksiem. Lai gan tās saknes meklējamas senā pagātnē, loģika joprojām ir dinamiska studiju joma.
Matemātiskā simboliskā loģika
Ir jāprot arī saprast un spriest, tāpēc īpaša uzmanība tika pievērsta loģiskiem secinājumiem, kad nebija speciālas aparatūras dažādu dzīves jomu analīzei un diagnosticēšanai. Mūsdienu simboliskā loģika radās no Aristoteļa (384-322 BC), izcilā grieķu filozofa un viena no visu laiku ietekmīgākajiem domātājiem, darbiem. Bija arī turpmāki panākumigrieķu stoiķu filozofs Krisips, kurš izstrādāja pamatus tam, ko mēs tagad saucam par propozicionālo loģiku.
Matemātiskā vai simboliskā loģika saņēma aktīvu attīstību tikai 19. gadsimtā. Parādījās Būla, de Morgana, Šrēdera darbi, kuros zinātnieki algebrizēja Aristoteļa mācības, tādējādi veidojot pamatu propozicionālajam aprēķinam. Tam sekoja Frege un Preece darbs, kurā tika ieviesti mainīgo un kvantoru jēdzieni, kurus sāka pielietot loģikā. Tā veidojās predikātu aprēķins – apgalvojumi par subjektu.
Loģika paredzēja neapstrīdamu faktu pierādījumu, ja patiesībai nebija tieša apstiprinājuma. Loģiskiem izteicieniem vajadzēja pārliecināt sarunu biedru par patiesumu.
Loģiskās formulas tika veidotas pēc matemātiskā pierādījuma principa. Tāpēc viņi pārliecināja sarunu biedrus par precizitāti un uzticamību.
Tomēr visi argumenti tika rakstīti vārdos. Nebija formālu mehānismu, kas radītu loģisku dedukcijas aprēķinu. Cilvēki sāka šaubīties, vai zinātnieks neslēpjas aiz matemātiskiem aprēķiniem, slēpjot aiz tiem savu minējumu absurdumu, jo katrs savus argumentus var pasniegt citā labā.
Jēgīguma dzimšana: stabila loģika matemātikā kā patiesības pierādījums
18. gadsimta beigās matemātiskā vai simboliskā loģika parādījās kā zinātne, kas ietvēra secinājumu pareizības izpētes procesu. Viņiem vajadzēja būt loģiskām beigām un savienojumam. Bet kā tas bija jāpierādavai pamatot pētījuma datus?
Lielais vācu filozofs un matemātiķis Gotfrīds Leibnics bija viens no pirmajiem, kurš saprata nepieciešamību formalizēt loģiskos argumentus. Tas bija Leibnica sapnis: izveidot universālu formālu zinātnes valodu, kas visus filozofiskos strīdus reducētu uz vienkāršu aprēķinu, šajā valodā pārstrādājot argumentāciju šādās diskusijās. Matemātiskā vai simboliskā loģika parādījās formulu veidā, kas atviegloja uzdevumus un risinājumus filozofiskajos jautājumos. Jā, un šī zinātnes joma kļuva nozīmīgāka, jo tad bezjēdzīgā filozofiskā pļāpāšana kļuva par dibenu, uz kuru balstās pati matemātika!
Mūsu laikā tradicionālā loģika ir simboliska aristoteļa loģika, kas ir vienkārša un nepretencioza. 19. gadsimtā zinātne saskārās ar kopu paradoksu, kas radīja pretrunas šajos ļoti slavenos Aristoteļa loģisko secību risinājumos. Šī problēma bija jāatrisina, jo zinātnē nevar būt pat virspusējas kļūdas.
Lūisa Kerola formalitāte - simboliskā loģika un tās transformācijas soļi
Formālā loģika tagad ir mācību priekšmets, kas ir iekļauts kursā. Tomēr tas ir parādā savu izskatu simboliskajam, sākotnēji radītajam. Simboliskā loģika ir metode loģisku izteiksmju attēlošanai, izmantojot simbolus un mainīgos, nevis parasto valodu. Tas novērš neskaidrības, kas ir saistītas ar izplatītām valodām, piemēram, krievu valodu, un atvieglo darbu.
Ir daudzas simboliskās loģikas sistēmas, piemēram:
- Klasisks priekšlikums.
- Pirmās kārtas loģika.
- Modal.
Simboliskajai loģikai, kā to saprot Lūiss Kerols, uzdotajā jautājumā būtu jānorāda patiesie un nepatiesie apgalvojumi. Katrai no tām var būt atsevišķas rakstzīmes vai arī var izslēgt noteiktu rakstzīmju izmantošanu. Šeit ir daži apgalvojumu piemēri, kas noslēdz secinājumu loģisko ķēdi:
- Visi cilvēki, kas ir identiski man, ir būtnes, kas pastāv.
- Visi varoņi, kas ir identiski Betmenam, ir radības, kas pastāv.
- Tātad (tā kā Betmens un es nekad netikām redzēti vienā vietā), visi cilvēki, kas man ir identiski, ir Betmenam identiski varoņi.
Tas nav derīgs formas siloģisms, taču tai ir tāda pati struktūra kā šādai:
- Visi suņi ir zīdītāji.
- Visi kaķi ir zīdītāji.
- Tāpēc visi suņi ir kaķi.
Būtu skaidrs, ka iepriekš minētā simboliskā forma loģikā nav derīga. Tomēr loģikā taisnīgumu definē šis izteiciens: ja premisa būtu patiesa, tad secinājums būtu patiess. Tā acīmredzami nav taisnība. Tas pats attiecas uz varoņa piemēru, kuram ir tāda pati forma. Derīgums attiecas tikai uz deduktīviem argumentiem, kuru mērķis ir droši pierādīt savu secinājumu, jo deduktīvs arguments nevar būt derīgs. Šie "labojumi" tiek piemēroti arī statistikā, ja ir datu kļūdas rezultāts, un mūsdienu simboliskā loģika kāvienkāršotu datu formalitāte palīdz daudzos no šiem jautājumiem.
Indukcija mūsdienu loģikā
Induktīvs arguments ir paredzēts tikai, lai pierādītu tā secinājumu ar lielu varbūtību vai atspēkošanu. Induktīvie argumenti ir spēcīgi vai vāji.
Kā induktīvs arguments, supervaroņa Betmena piemērs ir vienkārši vājš. Ir apšaubāms, ka Betmens pastāv, tāpēc viens no apgalvojumiem jau ir nepareizs ar lielu varbūtību. Lai gan jūs nekad neesat viņu redzējis tajā pašā vietā, kur kāds cits, ir smieklīgi uzskatīt šo izteicienu par pierādījumu. Lai saprastu loģikas būtību, iedomājieties:
- Jūs nekad neesat redzēts tajā pašā vietā, kur atrodas Gvinejas dzimtene.
- Neticami, ka jūs un Gvinejas cilvēks esat viena un tā pati persona.
- Tagad iedomājieties, ka jūs un afrikānis nekad neesat tikušies vienā vietā. Nav ticams, ka jūs un afrikānis esat viena un tā pati persona. Bet gvinejas un afrikāņa ceļi krustojās, tāpēc jūs nevarat būt abi vienlaikus. Pierādījumu skaits, ka esat afrikānis vai gvinejietis, ir ievērojami samazinājies.
No šī viedokļa pati simboliskās loģikas ideja nenozīmē a priori saistību ar matemātiku. Lai loģiku atpazītu kā simbolu, ir nepieciešams plaši izmantot simbolus, lai attēlotu loģiskās darbības.
Kerola loģiskā teorija: sapīšanās vai minimālisms matemātiskajā filozofijā
Kerols iemācījās dažus neparastus veiduskas lika viņam atrisināt diezgan sarežģītas problēmas, ar kurām saskārās viņa kolēģi. Tas viņam neļāva gūt ievērojamus panākumus loģisko apzīmējumu un sistēmu sarežģītības dēļ, ko viņš saņēma darba rezultātā. Kerola simboliskās loģikas raison d'être ir likvidēšanas problēma. Kā atrast secinājumu, kas jāizdara no premisu kopas par attiecībām starp dotajiem terminiem? Notiek "vidējo terminu" izslēgšana.
Lai atrisinātu šo centrālo loģikas problēmu, deviņpadsmitā gadsimta vidū tika izgudrotas simboliskas, diagrammas un pat mehāniskas ierīces. Tomēr Kerola metodes šādu "loģisku secību" (kā viņš tās sauca) apstrādei ne vienmēr sniedza pareizo risinājumu. Vēlāk filozofs publicēja divus rakstus par hipotēzēm, kas ir atspoguļotas žurnālā Mind: The Logical Paradox (1894) un What the Tourtoise Said to Achilles (1895).
Šos rakstus plaši apsprieda deviņpadsmitā un divdesmitā gadsimta loģiķi (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine utt.). Pirmais raksts bieži tiek minēts kā labs materiālo implikāciju paradoksu ilustrācija, bet otrais noved pie tā dēvētā secinājumu paradoksa.
Simbolu vienkāršība loģikā
Simboliskā loģikas valoda aizstāj garus, neskaidrus teikumus. Ērti, jo krieviski par dažādiem apstākļiem var teikt vienu un to pašu, kas ļaus apjukt un matemātikā katras nozīmes identitāti aizstās simboli.
- Pirmkārt, īsums ir svarīgs efektivitātei. Simboliskā loģika nevar iztikt bez zīmēm un apzīmējumiem, pretējā gadījumā tā paliktu tikai filozofiska, bez tiesībām uz patiesu nozīmi.
- Otrkārt, simboli atvieglo loģisko patiesību saskatīšanu un formulēšanu. 1. un 2. punkts veicina "algebriskas" manipulācijas ar loģiskajām formulām.
- Treškārt, kad loģika izsaka loģiskas patiesības, simboliskā formulēšana mudina pētīt loģikas struktūru. Tas ir saistīts ar iepriekšējo punktu. Tādējādi simboliskā loģika ir piemērota loģikas matemātiskai izpētei, kas ir matemātiskās loģikas priekšmeta nozare.
- Ceturtkārt, atkārtojot atbildi, simbolu lietošana ir palīglīdzeklis, lai novērstu parastās valodas neskaidrību (piemēram, vairākas nozīmes). Tas arī palīdz nodrošināt, ka nozīme ir unikāla.
Beidzot loģikas simboliskā valoda pieļauj Freges ieviesto predikātu aprēķinu. Gadu gaitā simboliskais apzīmējums pašam predikātu aprēķinam ir pilnveidots un padarīts efektīvāks, jo labs apzīmējums ir svarīgs matemātikā un loģikā.
Aristoteļa senatnes ontoloģija
Zinātnieki sāka interesēties par domātāja darbu, kad viņi sāka izmantot Sļiņina metodes savās interpretācijās. Grāmatā ir izklāstītas klasiskās un modālās loģikas teorijas. Svarīga koncepcijas daļa bija priekšlikuma loģikas formulas reducēšana uz CNF simboliskajā loģikā. Saīsinājums nozīmē mainīgo konjunkciju vai disjunkciju.
Slinin Ya. A. ierosināja, ka sarežģītas noliegšanas, kas prasa atkārtotu formulu samazināšanu, jāpārvērš par apakšformulu. Tādējādi viņš pārveidoja dažas vērtības uz minimālākām vērtībām un atrisināja problēmas saīsinātā versijā. Darbs ar negācijām tika reducēts līdz de Morgana formulām. Likumi, uz kuriem ir De Morgana vārds, ir saistītu teorēmu pāris, kas ļauj apgalvojumus un formulas pārvērst alternatīvos un bieži vien ērtākos. Likumi ir šādi:
- Disjunkcijas noliegums (vai nekonsekvence) ir vienāds ar alternatīvu nolieguma savienību – p vai q nav vienāds ar p un nav vienāds ar q vai simboliski ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- Savienojuma noliegums ir vienāds ar sākotnējo konjunktu nolieguma disjunkciju, t.i., nav (p un q) nav vienāds ar nav p vai nav q, vai simboliski ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Pateicoties šiem sākotnējiem datiem, daudzi matemātiķi sarežģītu loģisku problēmu risināšanai sāka lietot formulas. Daudzi cilvēki zina, ka ir lekciju kurss, kurā tiek pētīta funkciju krustošanās zona. Un arī matricas interpretācija balstās uz loģikas formulām. Kāda ir loģikas būtība algebriskajā savienojumā? Šī ir līmeņa lineāra funkcija, kad skaitļu zinātni un filozofiju var likt vienā bļodā kā "bez dvēseles" un neizdevīgu spriešanas jomu. Lai gan E. Kants domāja citādi, būdams matemātiķis un filozofs. Viņš atzīmēja, ka filozofija nav nekas, kamēr nav pierādīts pretējais. Un pierādījumiem jābūt zinātniski pamatotiem. Un tā notika, ka filozofija sāka iegūt nozīmi, pateicotiesatbilst skaitļu un aprēķinu patiesajai būtībai.
Loģikas pielietojums zinātnē un realitātes materiālajā pasaulē
Filozofi parasti nepiemēro loģiskās spriešanas zinātni tikai dažiem ambicioziem pēcdiploma projektiem (parasti ar augstu specializācijas pakāpi, piemēram, pievienojot sociālajām zinātnēm, psiholoģiju vai ētisku kategorizāciju). Paradoksāli, ka filozofijas zinātne "dzemdēja" patiesības un nepatiesības aprēķināšanas metodi, bet paši filozofi to neizmanto. Kam tad tiek radīti un pārveidoti tik skaidri matemātiski siloģismi?
- Programmētāji un inženieri izmantoja simbolisko loģiku (kas tik ļoti neatšķiras no oriģināla), lai ieviestu datorprogrammas un pat izstrādātu plates.
- Datoru gadījumā loģika ir kļuvusi pietiekami sarežģīta, lai apstrādātu daudzus funkciju izsaukumus, kā arī uzlabotu matemātiku un atrisinātu matemātikas problēmas. Liela daļa no tā ir balstīta uz zināšanām par matemātisko problēmu risināšanu un varbūtību apvienojumā ar loģiskiem izslēgšanas, paplašināšanas un reducējamības noteikumiem.
- Datorvalodas nevar viegli saprast, lai tās matemātikas zināšanu robežās loģiski darbotos un pat veiktu īpašas funkcijas. Liela daļa datoru valodas, iespējams, ir patentēta vai saprotama tikai datoriem. Programmētāji tagad bieži ļauj datoriem veikt loģikas uzdevumus un tos atrisināt.
Šo priekšnoteikumu izpildes laikā daudzi zinātnieki pieņem progresīvu materiālu radīšanu nevis zinātnes, betmediju un tehnoloģiju lietošanas vienkāršība. Iespējams, drīz loģika iesūksies ekonomikas, biznesa un pat "divšķautņu" kvantā, kas uzvedas gan kā atoms, gan kā vilnis.
Kvantu loģika mūsdienu matemātiskās analīzes praksē
Kvantu loģika (QL) tika izstrādāta kā mēģinājums izveidot priekšlikuma struktūru, kas ļautu aprakstīt interesantus notikumus kvantu mehānikā (QM). QL aizstāj Būla struktūru, kas nebija pietiekama, lai pārstāvētu atomu jomu, lai gan tā ir piemērota klasiskās fizikas diskursam.
Klasisko sistēmu priekšlikuma valodas matemātiskā struktūra ir pakāpju kopa, kas daļēji sakārtota pēc iekļaušanas kopas, ar darbību pāri, kas apzīmē savienojumu un disjunkciju.
Šī algebra atbilst gan klasisko, gan relatīvistisko parādību diskursam, taču nav savienojama ar teoriju, kas aizliedz, piemēram, dot vienlaicīgas patiesības vērtības. QL dibinātāju priekšlikums tika izveidots, lai aizstātu klasiskās loģikas Būla struktūru ar vājāku struktūru, kas vājinātu konjunkcijas un disjunkcijas sadalījuma īpašības.
Iekārtotās simboliskās iespiešanās vājināšanās: vai patiesība tiešām ir vajadzīga matemātikā kā eksaktajā zinātnē
Attīstības laikā kvantu loģika sāka atsaukties ne tikai uz tradicionālajiem, bet arī vairākām mūsdienu pētījumu jomām, kas mēģināja izprast mehāniku no loģikas viedokļa. Vairākikvantu pieejas, lai ieviestu dažādas kvantu mehānikas literatūrā apspriestās stratēģijas un problēmas. Kad vien iespējams, tiek likvidētas nevajadzīgas formulas, lai sniegtu intuitīvu izpratni par jēdzieniem pirms saistītās matemātikas iegūšanas vai ieviešanas.
Daudzgadīgs jautājums kvantu mehānikas interpretācijā ir par to, vai ir pieejami fundamentāli klasiski kvantu mehānisko parādību skaidrojumi. Kvantu loģikai ir bijusi liela nozīme šīs diskusijas veidošanā un pilnveidošanā, jo īpaši ļaujot mums būt diezgan precīziem par to, ko mēs saprotam ar klasisko skaidrojumu. Tagad ir iespējams precīzi noteikt, kuras teorijas var uzskatīt par ticamām un kuras ir matemātisko spriedumu loģisks secinājums.
