Viena no matemātiskās analīzes pamatsadaļām ir integrālrēķins. Tas aptver visplašāko objektu lauku, kur pirmais ir nenoteiktais integrālis. Ir vērts to pozicionēt kā atslēgu, kas pat vidusskolā atklāj arvien vairāk perspektīvu un iespēju, ko raksturo augstākā matemātika.
Izskats
No pirmā acu uzmetiena integrālis šķiet pilnīgi moderns, atbilstošs, taču praksē izrādās, ka tas parādījās jau 1800. gadā pirms mūsu ēras. Ēģipte oficiāli tiek uzskatīta par dzimteni, jo agrāk pierādījumi par tās esamību mūs nav sasnieguši. Viņš informācijas trūkuma dēļ visu šo laiku tika pozicionēts vienkārši kā fenomens. Viņš vēlreiz apliecināja zinātnes attīstības līmeni to laiku tautu vidū. Visbeidzot tika atrasti sengrieķu matemātiķu darbi, kas datēti ar 4. gadsimtu pirms mūsu ēras. Viņi aprakstīja metodi, kurā tika izmantots nenoteikts integrālis, kura būtība bija atrast līknes figūras (trīsdimensiju) tilpumu vai laukumuun attiecīgi divdimensiju plaknes). Aprēķina princips tika balstīts uz sākotnējās figūras sadalīšanu bezgalīgi mazos komponentos, ja to apjoms (laukums) jau ir zināms. Laika gaitā metode ir paplašinājusies, Arhimēds to izmantoja, lai atrastu parabolas laukumu. Līdzīgus aprēķinus tajā pašā laikā veica zinātnieki senajā Ķīnā, un tie bija pilnīgi neatkarīgi no saviem grieķu kolēģiem zinātnē.
Attīstība
Nākamais izrāviens mūsu ēras 11. gadsimtā bija arābu zinātnieka - "universāļa" Abu Ali al-Basri darbs, kurš paplašināja jau zināmā robežas, atvasinot formulas, kuru pamatā ir integrālis summu aprēķināšanai. rindu un pakāpju summas no pirmās līdz ceturtajai, šim nolūkam pielietojot mums zināmo matemātiskās indukcijas metodi.
Jauno laiku prāti apbrīno, kā senie ēģiptieši bez īpašām ierīcēm radīja pārsteidzošus arhitektūras pieminekļus, izņemot, iespējams, rokas, bet vai tā laika zinātnieku prāta spēks nav mazāks brīnums? Salīdzinot ar mūsdienām, viņu dzīve šķiet gandrīz primitīva, bet nenoteikto integrāļu risinājums tika atvasināts visur un izmantots praksē tālākai attīstībai.
Nākamais solis notika 16. gadsimtā, kad itāļu matemātiķis Kavaljē izstrādāja nedalāmo metodi, ko pārņēma Pjērs Fermā. Tieši šīs divas personības lika pamatus mūsdienu integrālrēķinam, kas šobrīd ir zināms. Tie savienoja diferenciācijas un integrācijas jēdzienus, kas bija agrākuzskatītas par autonomām vienībām. Kopumā to laiku matemātika bija sadrumstalota, secinājumu daļiņas pastāvēja pašas ar ierobežotu apjomu. Vienošanās un kopības meklējumu ceļš tajā laikā bija vienīgais patiesais, pateicoties kuram mūsdienu matemātiskā analīze ieguva iespēju augt un attīstīties.
Laika gaitā viss ir mainījies, ieskaitot integrāļa apzīmējumu. Kopumā zinātnieki to apzīmēja ar visiem līdzekļiem, piemēram, Ņūtons izmantoja kvadrātveida ikonu, kurā ievietoja integrējamu funkciju vai vienkārši novietoja to blakus.
Šī nekonsekvence turpinājās līdz 17. gadsimtam, kad zinātnieks Gotfrīds Leibnics, visas matemātiskās analīzes teorijas orientieris, ieviesa mums tik pazīstamo simbolu. Pagarinātais "S" patiešām ir balstīts uz šo latīņu alfabēta burtu, jo tas apzīmē antiatvasinājumu summu. Integrālis ieguva savu nosaukumu, pateicoties Džeikobam Bernulli 15 gadus vēlāk.
Formālā definīcija
Nenoteiktais integrālis ir tieši atkarīgs no antiatvasinājuma definīcijas, tāpēc vispirms to apsvērsim.
Antiderivatīvs ir funkcija, kas ir atvasinājuma apgrieztā funkcija, praksē to sauc arī par primitīvu. Citādi: funkcijas d antiatvasinājums ir funkcija D, kuras atvasinājums ir vienāds ar v V'=v. Antiatvasinājuma meklēšana ir nenoteiktā integrāļa aprēķins, un pats process tiek saukts par integrāciju.
Piemērs:
Funkcija s(y)=y3, un tās antiatvasinājums S(y)=(y4/4).
Visu aplūkojamās funkcijas antiatvasinājumu kopa ir nenoteiktais integrālis, to apzīmē šādi: ∫v(x)dx.
Sakarā ar to, ka V(x) ir tikai kāds sākotnējās funkcijas antiatvasinājums, notiek izteiksme: ∫v(x)dx=V(x) + C, kur C ir konstante. Patvaļīga konstante ir jebkura konstante, jo tās atvasinājums ir vienāds ar nulli.
Properties
Nenoteiktā integrāļa īpašības ir balstītas uz galveno definīciju un atvasinājumu īpašībām.
Apskatīsim galvenos punktus:
- integrālis no antiatvasinājuma atvasinājuma ir pats antiatvasinājums plus patvaļīga konstante С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- funkcijas integrāļa atvasinājums ir sākotnējā funkcija (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstante tiek izņemta no integrāļa zīmes ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, kur k ir patvaļīgs;
- no summas ņemtais integrālis ir identiski vienāds ar integrāļu summu ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Pēc pēdējām divām īpašībām varam secināt, ka nenoteiktais integrālis ir lineārs. Pateicoties tam, mums ir: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Lai konsolidētu, apsveriet piemērus, kā atrisināt nenoteiktus integrāļus.
Jāatrod integrālis ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C. + C
No piemēra varam secināt:nezini kā atrisināt nenoteiktus integrāļus? Vienkārši atrodiet visus primitīvus! Bet tālāk tiks apskatīti meklēšanas principi.
Metodes un piemēri
Lai atrisinātu integrāli, varat izmantot šādas metodes:
- izmantojiet sagatavoto tabulu;
- integrēt pa daļām;
- integrēt, mainot mainīgo;
- paliek zem diferenciālzīmes.
Tabulas
Vienkāršākais un patīkamākais veids. Šobrīd matemātiskā analīze var lepoties ar diezgan plašām tabulām, kurās ierakstītas nenoteikto integrāļu pamatformulas. Citiem vārdiem sakot, ir veidnes, kas ir izstrādātas pirms jums un jums, atliek tikai tās izmantot. Šeit ir saraksts ar galvenajām tabulas pozīcijām, no kurām varat iegūt gandrīz katru piemēru, kuram ir risinājums:
- ∫0dy=C, kur C ir konstante;
- ∫dy=y + C, kur C ir konstante;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, kur C ir konstante un n - skaitlis, kas nav viens;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, kur C ir konstante;
- ∫eydy=ey + C, kur C ir konstante;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, kur C ir konstante;
- ∫cosydy=siny + C, kur C ir konstante;
- ∫sinydy=-cosy + C, kur C ir konstante;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, kur C ir konstante;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, kur C ir konstante;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, kur C ir konstante;
- ∫chydy=kautrīgs + C, kur C -nemainīgs;
- ∫shydy=chy + C, kur C ir konstante.
Ja nepieciešams, veiciet pāris soļus, izveidojiet integrandu tabulas formā un izbaudiet uzvaru. Piemērs: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Pēc risinājuma ir skaidrs, ka tabulas piemēram integrandam trūkst koeficienta 5. Mēs to saskaitām, paralēli reizinot ar 1/5, lai vispārējā izteiksme nemainītos.
Integrācija pa daļām
Apsveriet divas funkcijas - z(y) un x(y). Tiem jābūt nepārtraukti diferencējamiem visā definīcijas jomā. Saskaņā ar vienu no diferenciācijas īpašībām mums ir: d(xz)=xdz + zdx. Integrējot abas vienādojuma daļas, iegūstam: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Pārrakstot iegūto vienādību, iegūstam formulu, kas apraksta integrācijas metodi pa daļām: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Kāpēc tas ir vajadzīgs? Lieta ir tāda, ka dažus piemērus var vienkāršot, nosacīti runājot, samazinot ∫zdx uz ∫xdz, ja pēdējais ir tuvu tabulas formai. Turklāt šo formulu var pielietot vairāk nekā vienu reizi, panākot optimālus rezultātus.
Kā atrisināt nenoteiktus integrāļus šādā veidā:
jāaprēķina ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
jāaprēķina ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Mainīgā aizstāšana
Šis nenoteikto integrāļu risināšanas princips ir ne mazāk pieprasīts kā divi iepriekšējie, lai gan tas ir sarežģītāks. Metode ir šāda: lai V(x) ir kādas funkcijas v(x) integrālis. Gadījumā, ja pats integrālis piemērā ir sarežģīts, pastāv liela iespēja apjukt un izvēlēties nepareizu risinājuma ceļu. Lai no tā izvairītos, tiek praktizēta pāreja no mainīgā x uz z, kurā vispārīgā izteiksme tiek vizuāli vienkāršota, vienlaikus saglabājot z atkarību no x.
Matemātiski tas izskatās šādi: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), kur x=y(z) ir aizstāšana. Un, protams, apgrieztā funkcija z=y-1(x) pilnībā apraksta mainīgo atkarību un attiecības. Svarīga piezīme - diferenciālis dx obligāti tiek aizstāts ar jaunu diferenciāli dz, jo mainīgā aizstāšana nenoteiktā integrālā nozīmē tā aizstāšanu visur, nevis tikai integrandā.
Piemērs:
jāatrod ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Pielietojiet aizstāšanu z=(s+1)/(s2+2s-5). Tad dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Rezultātā mēs iegūstam šādu izteiksmi, kuru ir ļoti viegli aprēķināt:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
jāatrod integrālis∫2sesdx
Lai atrisinātu, mēs pārrakstām izteiksmi šādā formā:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Apzīmējiet ar a=2e (šis solis neaizstāj argumentu, tas joprojām ir s), mēs izveidojam savu šķietami sarežģīto integrāli elementārā tabulas formā:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Palikšana zem diferenciālzīmes
Kopumā šī nenoteikto integrāļu metode ir mainīgā lieluma maiņas principa dvīņubrālis, taču projektēšanas procesā ir atšķirības. Apskatīsim tuvāk.
Ja ∫v(x)dx=V(x) + C un y=z(x), tad ∫v(y)dy=V(y) + C.
Šajā gadījumā nevajadzētu aizmirst triviālās integrāltransformācijas, starp kurām:
- dx=d(x + a), kur a ir jebkura konstante;
- dx=(1 / a)d(ax + b), kur a atkal ir konstante, bet nav vienāda ar nulli;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Ja ņemam vērā vispārējo gadījumu, kad mēs aprēķinām nenoteikto integrāli, piemērus var apkopot saskaņā ar vispārīgo formulu w'(x)dx=dw(x).
Piemēri:
jāatrod ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2 s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Tiešsaistes palīdzība
Dažos gadījumos, kuru vaina var būt slinkums vai steidzama nepieciešamība, varat izmantot tiešsaistes padomus vai, pareizāk sakot, izmantot beztermiņa integrālo kalkulatoru. Neskatoties uz visu šķietamo integrāļu sarežģītību un strīdīgumu, to risinājums ir pakļauts noteiktam algoritmam, kura pamatā ir princips "ja ne …, tad …".
Protams, šāds kalkulators īpaši sarežģītus piemērus neapgūs, jo ir gadījumi, kad risinājums ir jāatrod mākslīgi, "piespiedu kārtā" ieviešot procesā noteiktus elementus, jo rezultāts nav sasniedzams acīmredzamā veidā. veidus. Neskatoties uz visām šī apgalvojuma pretrunām, tā ir taisnība, jo matemātika principā ir abstrakta zinātne un par savu galveno uzdevumu uzskata nepieciešamību paplašināt iespēju robežas. Patiešām, ir ārkārtīgi grūti virzīties uz augšu un attīstīties saskaņā ar vienmērīgām, iedarbinātām teorijām, tāpēc nevajadzētu uzskatīt, ka mūsu sniegtie nenoteikto integrāļu risināšanas piemēri ir iespēju augstums. Bet atpakaļ pie lietas tehniskās puses. Vismaz, lai pārbaudītu aprēķinus, varat izmantot pakalpojumus, kuros viss tika rakstīts pirms mums. Ja ir nepieciešams automātisks sarežģītas izteiksmes aprēķins, tad no tiem nevar iztikt, jums būs jāizmanto nopietnāka programmatūra. Vispirms ir vērts pievērst uzmanību MatLab videi.
Pieteikums
Nenoteiktu integrāļu risinājums no pirmā acu uzmetiena šķiet pilnīgi neatbilstošs realitātei, jo ir grūti saskatīt acīmredzamās pielietojuma jomas. Patiešām, tos nevar izmantot tieši nekur, bet tos uzskata par nepieciešamu starpelementu praksē izmantojamo risinājumu iegūšanas procesā. Tātad integrācija ir apgriezta pret diferenciāciju, kuras dēļ tā aktīvi piedalās vienādojumu risināšanas procesā.
Savukārt šiem vienādojumiem ir tieša ietekme uz mehānisko uzdevumu risināšanu, trajektoriju aprēķinu un siltumvadītspēju – īsi sakot, visu, kas veido tagadni un veido nākotni. Nenoteiktais integrālis, kura piemērus mēs aplūkojām iepriekš, ir triviāls tikai no pirmā acu uzmetiena, jo tas ir pamats arvien vairāk jaunu atklājumu veikšanai.
