Viena un vairāku mainīgo diferenciālrēķinu funkcijas

2024 Autors: Angel Austin | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-02 17:52

Aprēķini ir aprēķinu nozare, kas pēta atvasinājumus, diferenciāļus un to izmantošanu funkcijas izpētē.

Izskata vēsture

Diferenciālrēķins kā neatkarīga disciplīna radās 17. gadsimta otrajā pusē, pateicoties Ņūtona un Leibnica darbiem, kuri formulēja diferenciāļu aprēķinos pamatnoteikumus un pamanīja saikni starp integrāciju un diferenciāciju. Kopš tā brīža disciplīna ir attīstījusies kopā ar integrāļu aprēķinu, tādējādi veidojot matemātiskās analīzes pamatu. Šo aprēķinu parādīšanās atvēra jaunu mūsdienu periodu matemātiskajā pasaulē un izraisīja jaunu zinātņu disciplīnu rašanos. Tas arī paplašināja matemātikas zinātnes pielietošanas iespējas dabaszinātnēs un tehnoloģijās.

Pamatjēdzieni

Diferenciālrēķinu pamatā ir matemātikas pamatjēdzieni. Tie ir: reālais skaitlis, nepārtrauktība, funkcija un robeža. Laika gaitā tie ieguva modernu izskatu, pateicoties integrālajam un diferenciālajam aprēķinam.

Izveides process

Diferenciālrēķina veidošanās lietišķās un pēc tam zinātniskās metodes veidā notika pirms filozofiskās teorijas rašanās, kuru radīja Nikolajs no Kuzas. Viņa darbi tiek uzskatīti par evolucionāru attīstību no senās zinātnes spriedumiem. Neskatoties uz to, ka pats filozofs nebija matemātiķis, viņa ieguldījums matemātikas zinātnes attīstībā ir nenoliedzams. Kuzanskis bija viens no pirmajiem, kurš atteicās no aritmētikas uzskatīšanas par visprecīzāko zinātnes jomu, radot šaubas par tā laika matemātiku.

Senie matemātiķi izmantoja vienību kā universālu kritēriju, savukārt filozofs kā jaunu mēru precīza skaitļa vietā piedāvāja bezgalību. Šajā sakarā precizitātes attēlojums matemātiskajā zinātnē ir apgriezts. Zinātniskās zināšanas, pēc viņa teiktā, iedala racionālajās un intelektuālajās. Pēc zinātnieka domām, otrais ir precīzāks, jo pirmais dod tikai aptuvenu rezultātu.

Ideja

Galvenā ideja un jēdziens diferenciālrēķinos ir saistīts ar funkciju nelielos noteiktu punktu apkaimēs. Lai to izdarītu, ir jāizveido matemātisks aparāts tādas funkcijas izpētei, kuras uzvedība nelielā noteikto punktu apkārtnē ir tuva polinoma vai lineāras funkcijas uzvedībai. Tas ir balstīts uz atvasinājuma un diferenciāļa definīciju.

Atvasinājuma jēdziena parādīšanos izraisīja liels skaits dabaszinātņu un matemātikas problēmu,kas ļāva atrast viena veida robežvērtības.

Viena no galvenajām problēmām, kas tiek sniegta kā piemērs, sākot no vidusskolas, ir noteikt ātrumu, kāds punkts pārvietojas pa taisni, un izveidot šai līknei pieskares līniju. Diferenciāls ir saistīts ar to, jo ir iespējams aproksimēt funkciju nelielā lineārās funkcijas aplūkotā punkta apkārtnē.

Salīdzinot ar reāla mainīgā funkcijas atvasinājuma jēdzienu, diferenciāļu definīcija vienkārši pāriet uz vispārīga rakstura funkciju, jo īpaši uz vienas Eiklīda telpas attēlu uz citas.

Atvasinājums

Ļaujiet punktam kustēties Oy ass virzienā, uz laiku, ko ņemam x, kas tiek skaitīts no noteikta brīža sākuma. Šādu kustību var aprakstīt ar funkciju y=f(x), kas tiek piešķirta katram pārvietojamā punkta koordinātas laika momentam x. Mehānikā šo funkciju sauc par kustības likumu. Kustības, īpaši nevienmērīgas, galvenā īpašība ir momentānais ātrums. Kad punkts pārvietojas pa Oy asi saskaņā ar mehānikas likumu, tad nejaušā laika momentā x tas iegūst koordinātu f (x). Laika momentā x + Δx, kur Δx apzīmē laika pieaugumu, tā koordināte būs f(x + Δx). Tādā veidā veidojas formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), ko sauc par funkcijas pieaugumu. Tas attēlo ceļu, ko nogājis laika punkts no x līdz x + Δx.

Šīs parādīšanās dēļātrums laikā, tiek ieviests atvasinājums. Patvaļīgā funkcijā atvasinājumu noteiktā punktā sauc par robežu (pieņemot, ka tā pastāv). To var apzīmēt ar noteiktiem simboliem:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Atvasinājuma aprēķināšanas procesu sauc par diferenciāciju.

Vairāku mainīgo funkcijas diferenciālrēķins

Šo aprēķinu metodi izmanto, pārbaudot funkciju ar vairākiem mainīgajiem. Divu mainīgo x un y klātbūtnē daļējo atvasinājumu attiecībā pret x punktā A sauc par šīs funkcijas atvasinājumu attiecībā pret x ar fiksētu y.

Var attēlot ar šādām rakstzīmēm:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x vai ∂f(x, y)’/∂x.

Nepieciešamās prasmes

Lai sekmīgi studētu un spētu risināt difūzus, ir nepieciešamas integrācijas un diferenciācijas prasmes. Lai atvieglotu diferenciālvienādojumu izpratni, jums ir labi jāsaprot atvasinājuma un nenoteiktā integrāļa tēma. Nenāk par ļaunu arī iemācīties atrast netieši norādītas funkcijas atvasinājumu. Tas ir saistīts ar to, ka studiju procesā bieži būs jāizmanto integrāļi un diferenciācija.

Diferenciālvienādojumu veidi

Gandrīz visos testa darbos, kas saistīti ar pirmās kārtas diferenciālvienādojumiem, ir 3 veidu vienādojumi: viendabīgi, ar atdalāmiem mainīgajiem, lineāri nehomogēni.

Ir arī retāki vienādojumu varianti: ar kopējām diferenciāļiem, Bernulli vienādojumiem un citiem.

Lēmuma pamati

Pirmkārt, jums vajadzētu atcerēties algebriskos vienādojumus no skolas kursa. Tie satur mainīgos lielumus un skaitļus. Lai atrisinātu parastu vienādojumu, jums jāatrod skaitļu kopa, kas atbilst noteiktam nosacījumam. Parasti šādiem vienādojumiem ir viena sakne, un, lai pārbaudītu pareizību, ar šo vērtību vajadzēja tikai aizstāt nezināmo.

Diferenciālvienādojums ir līdzīgs šim. Kopumā šādā pirmās kārtas vienādojumā ietilpst:

• Neatkarīgs mainīgais.
• Pirmās funkcijas atvasinājums.
• Funkcija vai atkarīgais mainīgais.

Dažos gadījumos viena no nezināmajām x vai y var trūkt, taču tas nav tik svarīgi, jo risinājumam un diferenciāļam ir nepieciešama pirmā atvasinājuma klātbūtne bez augstākas kārtas atvasinājumiem. aprēķins ir pareizs.

Atrisināt diferenciālvienādojumu nozīmē atrast visu funkciju kopu, kas atbilst dotajai izteiksmei. Šādu funkciju kopu bieži sauc par DE vispārīgo risinājumu.

Integrālais aprēķins

Integrālais aprēķins ir viena no matemātiskās analīzes sadaļām, kas pēta integrāļa jēdzienu, īpašības un tā aprēķināšanas metodes.

Bieži vien integrāļa aprēķins notiek, aprēķinot līknes figūras laukumu. Šis laukums ir robeža, līdz kurai daudzstūra laukums, kas ierakstīts dotajā figūrā, tiecas, pakāpeniski palielinot tā malu, savukārt šīs malas var būt mazākas par jebkuru iepriekš norādīto patvaļīgomaza vērtība.

Galvenā ideja, aprēķinot patvaļīgas ģeometriskas figūras laukumu, ir aprēķināt taisnstūra laukumu, tas ir, pierādīt, ka tā laukums ir vienāds ar garuma un platuma reizinājumu. Runājot par ģeometriju, visas konstrukcijas tiek veidotas, izmantojot lineālu un kompasu, un tad garuma un platuma attiecība ir racionāla vērtība. Aprēķinot taisnleņķa trijstūra laukumu, varat noteikt, ka, novietojot to pašu trīsstūri blakus tam, veidojas taisnstūris. Paralelogrammā laukumu aprēķina ar līdzīgu, bet nedaudz sarežģītāku metodi, izmantojot taisnstūri un trīsstūri. Daudzstūros laukums tiek aprēķināts, izmantojot tajā iekļautos trīsstūrus.

Nosakot patvaļīgas līknes taupīšanu, šī metode nedarbosies. Ja sadalīsi atsevišķos lauciņos, tad paliks neaizpildītas vietas. Šajā gadījumā tiek mēģināts izmantot divus vākus ar taisnstūriem augšā un apakšā, kā rezultātā tajos ir iekļauts funkcijas grafiks, bet nav. Šeit joprojām svarīga ir sadalīšanas metode šajos taisnstūros. Turklāt, ja mēs ņemam arvien mazākas starpsienas, tad laukumam virs un apakšā vajadzētu saplūst ar noteiktu vērtību.

Tam jāatgriežas pie taisnstūros sadalīšanas metodes. Ir divas populāras metodes.

Rīmanis Leibnica un Ņūtona izveidoto integrāļa definīciju formalizēja kā apakšgrafa laukumu. Šajā gadījumā tika ņemti vērā skaitļi, kas sastāv no noteikta skaita vertikālu taisnstūru un iegūti dalotsegmentu. Ja, samazinoties nodalījumam, ir robeža, līdz kurai samazinās līdzīgas figūras laukums, šo robežu sauc par funkcijas Rīmaņa integrāli noteiktā intervālā.

Otrā metode ir Lēbesga integrāļa konstruēšana, kas sastāv no tā, ka vietai definēto laukumu sadala integranda daļās un pēc tam sastāda integrāļa summu no šajās daļās iegūtajām vērtībām., tā vērtību diapazons ir sadalīts intervālos un pēc tam summēts ar atbilstošiem šo integrāļu priekšattēlu izmēriem.

Mūsdienu priekšrocības

Vienu no galvenajām diferenciālrēķina un integrālrēķina izpētes rokasgrāmatām ir sarakstījis Fihtengolts - "Diferenciālrēķina un integrālrēķina kurss". Viņa mācību grāmata ir būtisks ceļvedis matemātiskās analīzes izpētē, kas ir izgājusi cauri daudziem izdevumiem un tulkojumiem citās valodās. Radīts augstskolu studentiem un jau sen izmantots daudzās izglītības iestādēs kā viens no galvenajiem mācību līdzekļiem. Sniedz teorētiskos datus un praktiskās iemaņas. Pirmo reizi publicēts 1948. gadā.

Funkciju izpētes algoritms

Lai izmeklētu funkciju, izmantojot diferenciālrēķina metodes, ir jāievēro jau dotais algoritms:

1. Atrodiet funkcijas darbības jomu.
2. Atrodiet dotā vienādojuma saknes.
3. Aprēķiniet galējības. Lai to izdarītu, aprēķiniet atvasinājumu un punktus, kur tas ir vienāds ar nulli.
4. Aizvietojiet iegūto vērtību vienādojumā.

Diferenciālvienādojumu varianti

pirmās kārtas vadība (pretējā gadījumā diferenciālisviena mainīgā aprēķins) un to veidi:

• Atdalāms vienādojums: f(y)dy=g(x)dx.
• Vienkāršākie vienādojumi vai viena mainīgā funkcijas diferenciālrēķins ar formulu: y'=f(x).
• Lineāra nehomogēna pirmās kārtas DE: y'+P(x)y=Q(x).
• Bernulli diferenciālvienādojums: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Vienādojums ar kopējām atšķirībām: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Otrās kārtas diferenciālvienādojumi un to veidi:

• Lineārs otrās kārtas homogēns diferenciālvienādojums ar nemainīgām koeficienta vērtībām: y +py'+qy=0 p, q pieder R.
• Lineārs nehomogēns otrās kārtas diferenciālvienādojums ar nemainīgiem koeficientiem: y +py'+qy=f(x).
• Lineārs homogēns diferenciālvienādojums: y +p(x)y'+q(x)y=0 un nehomogēns otrās kārtas vienādojums: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Augstākas kārtas diferenciālvienādojumi un to veidi:

• Diferenciālvienādojums, ko var samazināt secībā: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Lineārs augstākas kārtas viendabīgs vienādojums: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0 un nehomogēns: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Soļi problēmas risināšanai ar diferenciālvienādojumu

Ar tālvadības pults palīdzību tiek risināti ne tikai matemātiski vai fiziski jautājumi, bet arī dažādas problēmas no plkst.bioloģija, ekonomika, socioloģija utt. Neskatoties uz lielo tēmu daudzveidību, risinot šādas problēmas, jāievēro viena loģiska secība:

1. Tālvadības pults kompilācija. Viens no grūtākajiem soļiem, kas prasa maksimālu precizitāti, jo jebkura kļūda novedīs pie pilnīgi nepareiziem rezultātiem. Jāņem vērā visi procesu ietekmējošie faktori un jānosaka sākotnējie nosacījumi. Tam arī jābalstās uz faktiem un loģiskiem secinājumiem.
2. Formulētā vienādojuma risinājums. Šis process ir vienkāršāks nekā pirmais solis, jo tam ir nepieciešami tikai stingri matemātiski aprēķini.
3. Rezultātu analīze un izvērtēšana. Atvasinātais risinājums ir jānovērtē, lai noteiktu rezultāta praktisko un teorētisko vērtību.

Piemērs diferenciālvienādojumu izmantošanai medicīnā

Tālvadības pults izmantošana medicīnas jomā notiek, veidojot epidemioloģisko matemātisko modeli. Vienlaikus nevajadzētu aizmirst, ka šie vienādojumi sastopami arī medicīnai tuvajā bioloģijā un ķīmijā, jo tajā liela nozīme ir dažādu bioloģisko populāciju un ķīmisko procesu izpētei cilvēka organismā.

Iepriekš minētajā epidēmijas piemērā mēs varam uzskatīt infekcijas izplatību izolētā sabiedrībā. Iedzīvotājus iedala trīs veidos:

• Inficēts, skaits x(t), sastāv no indivīdiem, infekcijas nesējiem, no kuriem katrs ir lipīgs (inkubācijas periods ir īss).
• Otrais veids ietveruzņēmīgas personas y(t), kas var inficēties, saskaroties ar inficētām personām.
• Trešā sugā ietilpst imūni indivīdi z(t), kuri ir imūni vai ir miruši slimības dēļ.

Indivīdu skaits ir nemainīgs, dzimstības, dabiskās nāves un migrācijas uzskaite netiek ņemta vērā. Pamatā būs divas hipotēzes.

Biežuma procentuālais daudzums noteiktā laika punktā ir x(t)y(t) (balstoties uz teoriju, ka gadījumu skaits ir proporcionāls saslimušo un uzņēmīgo pārstāvju krustpunktu skaitam, kas pirmajā aproksimācija būs proporcionāla x(t)y(t)), saistībā ar to gadījumu skaits palielinās, un jutīgo skaits samazinās ar ātrumu, ko aprēķina pēc formulas ax(t)y(t) (a > 0).

Imūno indivīdu skaits, kas kļuvuši imūni vai miruši, pieaug ar ātrumu, kas ir proporcionāls gadījumu skaitam, bx(t) (b > 0).

Rezultātā var izveidot vienādojumu sistēmu, ņemot vērā visus trīs rādītājus, un uz tās pamata izdarīt secinājumus.

Ekonomikas piemērs

Diferenciālrēķinus bieži izmanto ekonomiskajā analīzē. Galvenais uzdevums ekonomiskajā analīzē ir lielumu izpēte no ekonomikas, kas ir uzrakstīti funkcijas formā. To izmanto, risinot tādas problēmas kā ienākumu izmaiņas uzreiz pēc nodokļu paaugstināšanas, nodevu ieviešana, uzņēmuma ieņēmumu izmaiņas, mainoties ražošanas izmaksām, kādā proporcijā pensionētos darbiniekus var aizstāt ar jaunām iekārtām. Lai atrisinātu šādas problēmas, tas ir nepieciešamsizveidojiet savienojuma funkciju no ievades mainīgajiem, kas pēc tam tiek pētīti, izmantojot diferenciālrēķinu.

Ekonomikas sfērā bieži vien ir jāatrod optimālākie rādītāji: maksimālais darba ražīgums, augstākie ienākumi, zemākās izmaksas utt. Katrs šāds rādītājs ir viena vai vairāku argumentu funkcija. Piemēram, ražošanu var uzskatīt par darbaspēka un kapitāla ieguldījumu funkciju. Šajā sakarā piemērotas vērtības atrašanu var samazināt līdz funkcijas maksimālās vai minimālās vērtības atrašanai no viena vai vairākiem mainīgajiem.

Šāda veida problēmas rada ekonomikas jomas ekstrēmu problēmu klasi, kuru risināšanai nepieciešams diferenciālrēķins. Ja ekonomiskais rādītājs ir jāsamazina vai jāpalielina kā cita rādītāja funkcija, tad maksimuma punktā funkcijas pieauguma attiecībai pret argumentiem ir tendence uz nulli, ja argumenta pieaugumam ir tendence uz nulli. Pretējā gadījumā, kad šāda attiecība tiecas uz kādu pozitīvu vai negatīvu vērtību, norādītais punkts nav piemērots, jo, palielinot vai samazinot argumentu, jūs varat mainīt atkarīgo vērtību vajadzīgajā virzienā. Diferenciālrēķina terminoloģijā tas nozīmēs, ka nepieciešamais nosacījums funkcijas maksimumam ir tās atvasinājuma nulles vērtība.

Ekonomikā bieži vien ir problēmas atrast funkcijas ekstrēmu ar vairākiem mainīgajiem, jo ekonomiskos rādītājus veido daudzi faktori. Šādi jautājumi ir labi.studējis vairāku mainīgo funkciju teorijā, pielietojot diferenciālaprēķina metodes. Šādas problēmas ietver ne tikai maksimizētas un minimizētas funkcijas, bet arī ierobežojumus. Šādi jautājumi ir saistīti ar matemātisko programmēšanu, un tos risina ar īpaši izstrādātu metožu palīdzību, arī balstoties uz šo zinātnes nozari.

Starp ekonomikā izmantotajām diferenciālrēķinu metodēm svarīga sadaļa ir marginālā analīze. Ekonomikas sfērā šis termins attiecas uz metožu kopumu mainīgo rādītāju un rezultātu izpētei, mainot radīšanas, patēriņa apjomu, pamatojoties uz to robežrādītāju analīzi. Ierobežojošais rādītājs ir atvasinātie vai daļējie atvasinājumi ar vairākiem mainīgajiem.

Vairāku mainīgo diferenciālrēķini ir svarīga tēma matemātiskās analīzes jomā. Detalizētam pētījumam varat izmantot dažādas augstākās izglītības mācību grāmatas. Vienu no slavenākajiem izveidoja Fikhtengolts - "Diferenciālrēķina un integrālrēķina kurss". Kā norāda nosaukums, iemaņām darbā ar integrāļiem ir liela nozīme diferenciālvienādojumu risināšanā. Kad notiek viena mainīgā funkcijas diferenciālrēķins, risinājums kļūst vienkāršāks. Lai gan, jāatzīmē, uz to attiecas tie paši pamatnoteikumi. Lai praktiski pētītu funkciju ar diferenciālrēķinu, pietiek ievērot jau esošo algoritmu, kas tiek dots vidusskolā un tikai nedaudz sarežģīts, ieviešot jaunus.mainīgie.