Spēks ir viens no svarīgākajiem fizikas jēdzieniem. Tas izraisa jebkura objekta stāvokļa izmaiņas. Šajā rakstā mēs apsvērsim, kāda ir šī vērtība, kādi spēki pastāv, kā arī parādīsim, kā atrast spēka projekciju uz asi un plakni.
Spēks un tā fiziskā nozīme
Fizikā spēks ir vektora lielums, kas parāda ķermeņa impulsa izmaiņas laika vienībā. Šī definīcija uzskata, ka spēks ir dinamisks raksturlielums. No statikas viedokļa spēks fizikā ir ķermeņu elastīgās vai plastiskās deformācijas mērs.
Starptautiskā SI sistēma izsaka spēku ņūtonos (N). Kas ir 1 ņūtons, vienkāršākais veids, kā saprast klasiskās mehānikas otrā likuma piemēru. Tā matemātiskais apzīmējums ir šāds:
F¯=ma¯
Šeit F¯ ir kāds ārējs spēks, kas iedarbojas uz ķermeni ar masu m un rada paātrinājumu a¯. Viena ņūtona kvantitatīvā definīcija izriet no formulas: 1 N ir tāds spēks, kas izraisa ķermeņa, kura masa ir 1 kg, ātruma izmaiņas par 1 m / s uz katru sekundi.
Dinamikas piemērispēka izpausmes ir automašīnas vai brīvi krītoša ķermeņa paātrinājums zemes gravitācijas laukā.
Statiskā spēka izpausme, kā minēts, ir saistīta ar deformācijas parādībām. Šeit jānorāda šādas formulas:
F=PS
F=-kx
Pirmā izteiksme saista spēku F ar spiedienu P, ko tas iedarbojas uz kādu laukumu S. Izmantojot šo formulu, 1 N var definēt kā 1 pasāla spiedienu, kas pielikts 1 m laukumam. 2. Piemēram, atmosfēras gaisa kolonna jūras līmenī spiež uz vietu 1 m2 ar spēku 105N!
Otrā izteiksme ir Huka likuma klasiskā forma. Piemēram, atsperes izstiepšana vai saspiešana ar lineāru vērtību x noved pie pretēja spēka F rašanās (izteiksmē k ir proporcionalitātes koeficients).
Kādi spēki pastāv
Iepriekš jau tika parādīts, ka spēki var būt statiski un dinamiski. Šeit mēs sakām, ka papildus šai funkcijai tie var būt kontakta vai liela attāluma spēki. Piemēram, berzes spēks, atbalsta reakcijas ir kontaktspēki. To parādīšanās iemesls ir Pauli principa spēkā esamība. Pēdējais norāda, ka divi elektroni nevar ieņemt vienu un to pašu stāvokli. Tāpēc divu atomu pieskāriens noved pie to atgrūšanas.
Tāla attāluma spēki parādās ķermeņu mijiedarbības rezultātā caur noteiktu nesēja lauku. Piemēram, tādi ir gravitācijas spēks vai elektromagnētiskā mijiedarbība. Abām spējām ir bezgalīgs diapazons,tomēr to intensitāte samazinās kā attāluma kvadrāts (Kulona likumi un gravitācija).
Jauda ir vektora lielums
Izskatot aplūkotā fizikālā lieluma nozīmi, mēs varam turpināt pētīt jautājumu par spēka projekciju uz asi. Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka šis lielums ir vektors, tas ir, to raksturo modulis un virziens. Mēs parādīsim, kā aprēķināt spēka moduli un tā virzienu.
Ir zināms, ka jebkuru vektoru noteiktā koordinātu sistēmā var definēt unikāli, ja ir zināmas tā sākuma un beigu koordinātu vērtības. Pieņemsim, ka ir kāds virzīts segments MN¯. Tad tā virzienu un moduli var noteikt, izmantojot šādas izteiksmes:
MN¯=(x2-x1; y2-y 1; z2-z1);
|MN¯|=√((x2-x1)2+ (y2 -y1)2+ (z2-z1 )2).
Šeit koordinātas ar indeksiem 2 atbilst punktam N, tās ar indeksiem 1 atbilst punktam M. Vektors MN¯ ir vērsts no M uz N.
Vispārības labad mēs esam parādījuši, kā trīsdimensiju telpā atrast vektora moduli un koordinātas (virzienu). Līdzīgas formulas bez trešās koordinātas ir derīgas gadījumam plaknē.
Tādējādi spēka modulis ir tā absolūtā vērtība, kas izteikta ņūtonos. No ģeometrijas viedokļa modulis ir virzītā segmenta garums.
Kāda ir spēka projekcijaass?
Visērtāk ir runāt par virzīto segmentu projekcijām uz koordinātu asīm un plaknēm, ja vispirms novieto atbilstošo vektoru sākuma punktā, tas ir, punktā (0; 0; 0). Pieņemsim, ka mums ir kāds spēka vektors F¯. Novietosim tā sākumu punktā (0; 0; 0), tad vektora koordinātas var uzrakstīt šādi:
F¯=((x1- 0); (y1- 0); (z1 - 0))=(x1; y1; z1).
Vektors F¯ parāda spēka virzienu telpā dotajā koordinātu sistēmā. Tagad zīmēsim perpendikulārus segmentus no F¯ beigām uz katru no asīm. Attālumu no perpendikula krustošanās punkta ar atbilstošo asi līdz sākuma punktam sauc par spēka projekciju uz asi. Nav grūti uzminēt, ka spēka F¯ gadījumā tā projekcijas uz x, y un z asīm būs x1, y1Attiecīgiun z 1. Ņemiet vērā, ka šīs koordinātas parāda spēka projekciju moduļus (segmentu garumu).
Leņķi starp spēku un tā projekcijām uz koordinātu asīm
Šo leņķu aprēķināšana nav grūta. Viss, kas nepieciešams, lai to atrisinātu, ir zināšanas par trigonometrisko funkciju īpašībām un prasme pielietot Pitagora teorēmu.
Piemēram, definēsim leņķi starp spēka virzienu un tā projekciju uz x ass. Atbilstošo taisnleņķa trīsstūri veidos hipotenūza (vektors F¯) un kājiņa (segments x1). Otrais posms ir attālums no vektora F¯ gala līdz x asij. Leņķi α starp F¯ un x asi aprēķina pēc formulas:
α=arccos(|x1|/|F¯|)=arccos(x1/√(x) 12+y12+z1 2)).
Kā redzat, lai noteiktu leņķi starp asi un vektoru, ir nepieciešams un pietiekami zināt virzītā posma beigu koordinātas.
Leņķiem ar citām asīm (y un z) varat rakstīt līdzīgas izteiksmes:
β=arccos(|y1|/|F¯|)=arccos(y1/√(x 12+y12+z 12));
γ=arccos(|z1|/|F¯|)=arccos(z1/√(x) 12+y12+z 12)).
Ņemiet vērā, ka visās formulās skaitītājos ir moduļi, kas novērš neasu stūru parādīšanos. Starp spēku un tā aksiālajām projekcijām leņķi vienmēr ir mazāki vai vienādi ar 90o.
Spēks un tā projekcijas koordinātu plaknē
Spēka projekcijas definīcija uz plakni ir tāda pati kā asij, tikai šajā gadījumā perpendikuls ir jānolaiž nevis uz asi, bet gan uz plakni.
Telpiskās taisnstūra koordinātu sistēmas gadījumā mums ir trīs savstarpēji perpendikulāras plaknes xy (horizontāla), yz (frontālā vertikāle), xz (sānu vertikāle). No vektora gala līdz nosauktajām plaknēm nomesto perpendikulu krustpunkti ir:
(x1; y1; 0) xy;
(x1; 0; z1) xz;
(0; y1; z1) zy.
Ja katrs no atzīmētajiem punktiem ir savienots ar sākumpunktu, tad iegūstam spēka F¯ projekciju uz atbilstošo plakni. Kāds ir spēka modulis, mēs zinām. Lai atrastu katras projekcijas moduli, jāpielieto Pitagora teorēma. Apzīmēsim projekcijas plaknē kā Fxy, Fxz un Fzy. Tad vienādības būs derīgas to moduļiem:
Fxy=√(x12+y1 2);
Fxz=√(x12+ z1 2);
Fzy=√(y12+ z1 2).
Leņķi starp projekcijām uz plakni un spēka vektoru
Augšējā rindkopā tika dotas formulas projekciju moduļiem uz aplūkotā vektora F¯ plakni. Šīs projekcijas kopā ar segmentu F¯ un attālumu no tā gala līdz plaknei veido taisnleņķa trīsstūrus. Tāpēc, tāpat kā projekciju gadījumā uz ass, attiecīgo leņķu aprēķināšanai varat izmantot trigonometrisko funkciju definīciju. Varat uzrakstīt šādas vienādības:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(√(x12 +y12) /√(x12 +y12+z12));
β=loki(Fxz/|F¯|)=loki (√(x12 +z12)/√(x12 +y12+z12));
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12 +z12)).
Ir svarīgi saprast, ka leņķis starp spēka F¯ virzienu un tā atbilstošo projekciju uz plakni ir vienāds ar leņķi starp F¯ un šo plakni. Ja šo problēmu aplūkojam no ģeometrijas viedokļa, tad varam teikt, ka virzītais segments F¯ ir slīps attiecībā pret plaknēm xy, xz un zy.
Kur tiek izmantotas spēka projekcijas?
Iepriekš minētās formulas spēka projekcijām uz koordinātu asīm un plaknē ir ne tikai teorētiskas intereses. Tos bieži izmanto fizisko problēmu risināšanā. Pats projekciju atrašanas process tiek saukts par spēka sadalīšanos tā sastāvdaļās. Pēdējie ir vektori, kuru summai jādod sākotnējais spēka vektors. Vispārīgā gadījumā spēku var sadalīt patvaļīgās sastāvdaļās, tomēr uzdevumu risināšanai ir ērti izmantot projekcijas uz perpendikulārām asīm un plaknēm.
Problēmas, kurās tiek izmantots spēka projekciju jēdziens, var būt ļoti dažādas. Piemēram, tas pats Ņūtona otrais likums pieņem, ka ārējam spēkam F¯, kas iedarbojas uz ķermeni, jābūt vērstam tāpat kā ātruma vektoram v¯. Ja to virzieni atšķiras par kādu leņķi, tad, lai vienādība paliktu spēkā, tajā jāievieto nevis pats spēks F¯, bet gan tā projekcija virzienā v¯.
Tālāk sniegsim pāris piemērus, kur parādīsim, kā izmantot ierakstītoformulas.
Uzdevums noteikt spēka projekcijas plaknē un uz koordinātu asīm
Pieņemsim, ka pastāv kāds spēks F¯, ko attēlo vektors, kuram ir šādas beigu un sākuma koordinātas:
(2; 0; 1);
(-1; 4; -1).
Ir nepieciešams noteikt spēka moduli, kā arī visas tā projekcijas uz koordinātu asīm un plaknēm, kā arī leņķus starp F¯ un katru tā projekciju.
Sāksim risināt uzdevumu, aprēķinot vektora F¯ koordinātas. Mums ir:
F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).
Tad spēka modulis būs:
|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.
Projekcijas uz koordinātu asīm ir vienādas ar atbilstošajām vektora F¯ koordinātām. Aprēķināsim leņķus starp tiem un F¯ virzienu. Mums ir:
α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14o;
β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03o;
γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20o.
Tā kā vektora F¯ koordinātas ir zināmas, ir iespējams aprēķināt spēku projekciju moduļus koordinātu plaknē. Izmantojot iepriekš minētās formulas, mēs iegūstam:
Fxy=√(9 +16)=5 N;
Fxz=√(9 + 4)=3, 606 N;
Fzy=√(16 + 4)=4, 472 N.
Beidzot atliek aprēķināt leņķus starp atrastajām projekcijām plaknē un spēka vektoru. Mums ir:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8o;
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0o;
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9o.
Tādējādi vektors F¯ ir vistuvāk xy koordinātu plaknei.
Problēma ar slīdošo stieni slīpā plaknē
Tagad atrisināsim fizisku problēmu, kur būs nepieciešams pielietot spēka projekcijas jēdzienu. Dota koka slīpa plakne. Tās slīpuma leņķis pret horizontu ir 45o. Uz plaknes atrodas koka bloks ar masu 3 kg. Jānosaka, ar kādu paātrinājumu šī stienis virzīsies lejup pa plakni, ja zināms, ka slīdēšanas berzes koeficients ir 0,7.
Vispirms izveidosim ķermeņa kustības vienādojumu. Tā kā uz to iedarbosies tikai divi spēki (smaguma projekcija uz plakni un berzes spēks), vienādojums būs šāds:
Fg- Ff=ma=>
a=(Fg- Ff)/m.
Šeit Fg, Ff ir attiecīgi gravitācijas un berzes projekcija. Tas nozīmē, ka uzdevums ir samazināts līdz to vērtību aprēķināšanai.
Tā kā leņķis, kurā plakne ir slīpa pret horizontu, ir 45o, ir viegli parādīt, ka gravitācijas projekcija Fggar plaknes virsmu būs vienāds ar:
Fg=mgsin(45o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.
Šī spēka projekcija cenšas nomierinātkoka klucis un piešķir tam paātrinājumu.
Saskaņā ar definīciju slīdošās berzes spēks ir:
Ff=ΜN
Kur Μ=0, 7 (skatiet problēmas nosacījumu). Atbalsta N reakcijas spēks ir vienāds ar gravitācijas spēka projekciju uz asi, kas ir perpendikulāra slīpajai plaknei, tas ir:
N=mgcos(45o)
Tad berzes spēks ir:
Ff=Μmgcos(45o)=0, 739, 81/√2 ≈ 14, 57 N.
Aizvietojiet atrastos spēkus kustības vienādojumā, iegūstam:
a=(Fg- Ff)/m=(20,81–14,57)/3=2,08 m/ c2.
Tādējādi bloks virzīsies lejup pa slīpo plakni, katru sekundi palielinot ātrumu par 2,08 m/s.
