Rotācija ir tipisks mehāniskas kustības veids, kas bieži sastopams dabā un tehnoloģijās. Jebkura rotācija rodas kāda ārēja spēka iedarbības rezultātā uz aplūkojamo sistēmu. Šis spēks rada tā saukto griezes momentu. Kas tas ir, no kā tas ir atkarīgs, ir apspriests rakstā.
Rotācijas process
Pirms apsvērt griezes momenta jēdzienu, raksturosim sistēmas, kurām šo jēdzienu var attiecināt. Rotācijas sistēma pieņem, ka tajā ir ass, ap kuru tiek veikta apļveida kustība vai rotācija. Attālumu no šīs ass līdz sistēmas materiālajiem punktiem sauc par rotācijas rādiusu.
No kinemātikas viedokļa procesu raksturo trīs leņķiskās vērtības:
- griešanās leņķis θ (mērīts radiānos);
- leņķiskais ātrums ω (mērīts radiānos sekundē);
- leņķiskais paātrinājums α (mērīts radiānos uz kvadrātsekundi).
Šie daudzumi ir saistīti viens ar otru šādivienāds:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Rotācijas piemēri dabā ir planētu kustība to orbītā un ap to asīm, viesuļvētru kustība. Ikdienā un tehnoloģijās attiecīgā kustība ir raksturīga dzinēju motoriem, uzgriežņu atslēgām, celtņiem, durvju atvēršanai utt.
Spēka momenta noteikšana
Tagad pāriesim pie raksta faktiskās tēmas. Saskaņā ar fizisko definīciju spēka moments ir spēka pielikšanas vektora vektora reizinājums attiecībā pret griešanās asi un paša spēka vektoru. Atbilstošo matemātisko izteiksmi var uzrakstīt šādi:
M¯=[r¯F¯].
Šeit vektors r¯ ir vērsts no rotācijas ass uz spēka F¯ pielikšanas punktu.
Šajā griezes momenta formulā M¯ spēku F¯ var novirzīt jebkurā virzienā attiecībā pret ass virzienu. Tomēr ass paralēlā spēka komponents neradīs rotāciju, ja ass ir stingri fiksēta. Lielākajā daļā fizikas problēmu jāņem vērā spēki F¯, kas atrodas plaknēs, kas ir perpendikulāras rotācijas asij. Šajos gadījumos griezes momenta absolūto vērtību var noteikt pēc šādas formulas:
|M¯|=|r¯||F¯|sin(β).
Kur β ir leņķis starp vektoriem r¯ un F¯.
Kas ir kredītpleca?
Spēka svirai ir svarīga loma spēka momenta lieluma noteikšanā. Lai saprastu, par ko mēs runājam, apsverietnākamais attēls.
Šeit mēs parādām kādu stieni ar garumu L, kas ir fiksēts pagrieziena punktā ar vienu no tā galiem. Uz otru galu iedarbojas spēks F, kas vērsts akūtā leņķī φ. Pēc spēka momenta definīcijas var rakstīt:
M=FLsin(180o-φ).
Leņķis (180o-φ) parādījās tāpēc, ka vektors L¯ ir vērsts no fiksētā gala uz brīvo galu. Ņemot vērā trigonometriskās sinusa funkcijas periodiskumu, mēs varam pārrakstīt šo vienādību šādā formā:
M=FLsin(φ).
Tagad pievērsīsim uzmanību taisnleņķa trīsstūrim, kas veidots uz malām L, d un F. Pēc sinusa funkcijas definīcijas hipotenūzas L un leņķa sinusa φ reizinājums dod kājas d vērtību. Tad mēs nonākam pie vienlīdzības:
M=Fd.
Lineāro vērtību d sauc par spēka sviru. Tas ir vienāds ar attālumu no spēka vektora F¯ līdz rotācijas asij. Kā redzams no formulas, ir ērti izmantot spēka sviras jēdzienu, aprēķinot momentu M. Rezultātā iegūtā formula saka, ka maksimālais griezes moments kādam spēkam F radīsies tikai tad, kad rādiusa vektora garums r¯ (L¯ attēlā iepriekš) ir vienāds ar spēka sviru, tas ir, r¯ un F¯ būs savstarpēji perpendikulāri.
M¯
virziens
Iepriekš tika parādīts, ka griezes moments ir noteiktai sistēmai raksturīgais vektors. Kur šis vektors ir vērsts? Atbildiet uz šo jautājumu Nrir īpaši grūti, ja atceramies, ka divu vektoru reizinājuma rezultāts ir trešais vektors, kas atrodas uz ass, kas ir perpendikulāra sākotnējo vektoru plaknei.
Atliek izlemt, vai spēka moments būs vērsts uz augšu vai uz leju (pret lasītāju vai prom no tā) attiecībā pret minēto plakni. To var noteikt vai nu ar karkasa kārtulu, vai arī izmantojot labās rokas likumu. Šeit ir abi noteikumi:
- Labās rokas likums. Ja labo roku novietojat tā, lai tās četri pirksti virzītos no vektora r sākuma līdz beigām un pēc tam no vektora F sākuma līdz beigām, tad īkšķis, kas izvirzīts uz āru, norādīs momenta virziens M¯.
- Gimlet noteikums. Ja iedomātas karkasa griešanās virziens sakrīt ar sistēmas rotācijas kustības virzienu, tad karkasa translācijas kustība norādīs vektora M¯ virzienu. Atcerieties, ka tas griežas tikai pulksteņrādītāja virzienā.
Abi noteikumi ir vienādi, tāpēc katrs var izmantot sev ērtāko.
Risinot praktiskus uzdevumus, griezes momenta dažādais virziens (augšup - uz leju, pa kreisi - pa labi) tiek ņemts vērā, izmantojot "+" vai "-" zīmes. Jāatceras, ka momenta M¯ pozitīvais virziens tiek uzskatīts par tādu, kas ved uz sistēmas griešanos pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Attiecīgi, ja kāds spēks noved pie sistēmas griešanās pulksteņa virzienā, tad tā radītajam momentam būs negatīva vērtība.
Fiziskā nozīmedaudzums M¯
Fizikā un rotācijas mehānikā vērtība M¯ nosaka spēka vai spēku summas spēju griezties. Tā kā daudzuma M¯ matemātiskā definīcija satur ne tikai spēku, bet arī tā pielietojuma rādiusa vektoru, tieši pēdējais lielā mērā nosaka atzīmēto rotācijas spēju. Lai būtu skaidrāk, par kādu spēju mēs runājam, šeit ir daži piemēri:
- Katrs cilvēks vismaz reizi mūžā mēģināja atvērt durvis, nevis turot rokturi, bet piespiežot tās tuvu eņģēm. Pēdējā gadījumā jums ir jāpieliek ievērojamas pūles, lai sasniegtu vēlamo rezultātu.
- Lai atskrūvētu uzgriezni no skrūves, izmantojiet īpašas uzgriežņu atslēgas. Jo garāka ir uzgriežņu atslēga, jo vieglāk ir atskrūvēt uzgriezni.
- Lai izjustu spēka sviras nozīmi, aicinām lasītājus veikt šādu eksperimentu: paņemt krēslu un mēģināt to noturēt ar vienu roku uz svara, vienā gadījumā atspiest roku pret ķermeni, in otrs veic uzdevumu uz taisnas rokas. Pēdējais daudziem būs milzīgs uzdevums, lai gan krēsla svars ir palicis nemainīgs.
Spēka momenta vienības
Daži vārdi jāsaka arī par SI vienībām, kurās mēra griezes momentu. Saskaņā ar tai rakstīto formulu to mēra ņūtonos uz metru (Nm). Tomēr šīs vienības mēra arī darbu un enerģiju fizikā (1 Nm=1 džouls). Džouls momentam M¯ netiek piemērots, jo darbs ir skalārs lielums, bet M¯ ir vektors.
Tomērspēka momenta vienību sakritība ar enerģijas vienībām nav nejauša. Darbs pie sistēmas rotācijas, kas veikts līdz brīdim M, tiek aprēķināts pēc formulas:
A=Mθ.
Ja mēs iegūstam, ka M var izteikt arī džoulos uz radiānu (J/rad).
Rotācijas dinamika
Raksta sākumā mēs pierakstījām kinemātiskās īpašības, kas tiek izmantotas, lai aprakstītu rotācijas kustību. Rotācijas dinamikā galvenais vienādojums, kas izmanto šos raksturlielumus, ir:
M=Iα.
Momenta M darbība sistēmā ar inerces momentu I izraisa leņķiskā paātrinājuma α parādīšanos.
Šo formulu izmanto, lai tehnoloģijā noteiktu griešanās leņķiskās frekvences. Piemēram, zinot asinhronā motora griezes momentu, kas ir atkarīgs no strāvas frekvences statora spolē un no mainīgā magnētiskā lauka lieluma, kā arī zinot rotējošā rotora inerciālās īpašības, var noteikt uz kādu griešanās ātrumu ω motora rotors griežas zināmā laikā t.
Problēmu risināšanas piemērs
Bezsvara svirai, 2 metrus garai, vidū ir balsts. Kādu svaru vajadzētu likt vienam sviras galam, lai tas būtu līdzsvara stāvoklī, ja balsta otrā pusē 0,5 metru attālumā no tā atrodas 10 kg masa?
Acīmredzot, sviras līdzsvars iestāsies, ja slodžu radītie spēku momenti absolūtā vērtībā būs vienādi. Spēks, kas radamoments šajā problēmā, atspoguļo ķermeņa svaru. Spēka sviras ir vienādas ar attālumiem no atsvariem līdz balstam. Uzrakstīsim atbilstošo vienādību:
M1=M2=>
m1gd1=m2gd 2 =>
P2=m2g=m1gd 1/d2.
Svars P2 mēs iegūstam, ja aizstājam vērtības m1=10 kg no problēmas stāvokļa, d 1=0,5 m, d2=1 m. Uzrakstītais vienādojums sniedz atbildi: P2=49,05 ņūtoni.
