Varbūtību teorija darbojas ar nejaušiem mainīgajiem. Gadījuma mainīgajiem ir tā sauktie sadalījuma likumi. Šāds likums apraksta tā nejaušo mainīgo ar absolūtu pilnīgumu. Tomēr, strādājot ar reālām nejaušo mainīgo kopām, bieži ir ļoti grūti uzreiz noteikt to sadalījuma likumu, un tie ir ierobežoti ar noteiktu skaitlisko raksturlielumu kopu. Piemēram, gadījuma lieluma vidējās un dispersijas aprēķināšana bieži ir ļoti noderīga.
Kāpēc tas ir vajadzīgs
Ja matemātiskās cerības būtība ir tuvu daudzuma vidējai vērtībai, tad šajā gadījumā dispersija parāda, kā mūsu daudzuma vērtības ir izkliedētas ap šo matemātisko cerību. Piemēram, ja mēs izmērījām cilvēku grupas IQ un vēlamies pārbaudīt mērījumu rezultātus (izlasi), matemātiskā cerība parādīs aptuveno vidējo intelekta koeficienta vērtību šai cilvēku grupai un, ja mēs aprēķināsim izlases dispersiju., mēs noskaidrosim, kā rezultāti tiek grupēti ap matemātisko cerību: ķekars tās tuvumā (maza IQ variācija) vai vienmērīgāk visā diapazonā no minimālā līdz maksimālajam rezultātam (liela variācija un kaut kur pa vidu - matemātiskā cerība).
Lai aprēķinātu dispersiju, ir nepieciešams jauns gadījuma lieluma raksturlielums - vērtības novirze no matemātiskāgaidu.
Novirze
Lai saprastu, kā aprēķināt dispersiju, vispirms ir jāsaprot novirze. Tās definīcija ir atšķirība starp nejaušā mainīgā lieluma vērtību un tā matemātisko cerību. Aptuveni runājot, lai saprastu, kā vērtība tiek "izkliedēta", ir jāskatās, kā tiek sadalīta tās novirze. Tas ir, mēs aizstājam vērtības vērtību ar tās novirzes vērtību no paklāja. cerības un izpētiet tā izplatīšanas likumu.
Diskrēta, tas ir, nejauša lieluma, kas iegūst atsevišķas vērtības, sadalījuma likums ir uzrakstīts tabulas veidā, kur vērtības vērtība tiek korelēta ar tās rašanās varbūtību. Tad noviržu sadalījuma likumā nejaušais lielums tiks aizstāts ar tā formulu, kurā ir vērtība (kura ir saglabājusi savu varbūtību) un savs mats. gaidu.
Jaušamā lieluma novirzes sadalījuma likuma īpašības
Esam pierakstījuši gadījuma lieluma novirzes sadalījuma likumu. No tā mēs līdz šim varam iegūt tikai tādu raksturlielumu kā matemātiskā cerība. Ērtības labad labāk ir ņemt skaitlisku piemēru.
Lai ir kāda nejauša lieluma sadalījuma likums: X - vērtība, p - varbūtība.
Mēs aprēķinām matemātisko cerību, izmantojot formulu un uzreiz arī novirzi.
Jaunas noviržu sadalījuma tabulas zīmēšana.
Šeit mēs aprēķinām arī cerības.
Izrādās nulle. Ir tikai viens piemērs, bet tā tas būs vienmēr: vispārējā gadījumā to pierādīt nav grūti. Novirzes matemātiskās cerības formulu var sadalīt starpībā starp nejauša lieluma matemātiskajām cerībām un, lai cik greizi tas neizklausītos, matemātiskajās gaidās. cerības (tomēr rekursija), kas ir vienādas, tāpēc to atšķirība būs nulle.
Tas ir sagaidāms: galu galā zīmes novirzes var būt gan pozitīvas, gan negatīvas, tāpēc tām vidēji jādod nulle.
Kā aprēķināt diskrēta gadījuma dispersiju. daudzums
Ja mat. ir bezjēdzīgi aprēķināt novirzes cerību, jāmeklē kaut kas cits. Jūs varat vienkārši ņemt noviržu absolūtās vērtības (modulo); bet ar moduļiem viss nav tik vienkārši, tāpēc novirzes ir kvadrātā, un tad tiek aprēķināta to matemātiskā cerība. Patiesībā tas ir domāts, kad viņi runā par to, kā aprēķināt dispersiju.
Tas ir, mēs ņemam novirzes, tās kvadrātā un izveidojam tabulu ar noviržu un varbūtību kvadrātā, kas atbilst nejaušajiem mainīgajiem. Šis ir jauns izplatīšanas likums. Lai aprēķinātu matemātisko cerību, jums jāsaskaita novirzes un varbūtības kvadrāta reizinājums.
Vienkāršāka formula
Tomēr raksts sākās ar faktu, ka sākotnējā gadījuma lieluma sadalījuma likums bieži vien nav zināms. Tāpēc ir nepieciešams kaut kas vieglāks. Patiešām, ir vēl viena formula, kas ļauj aprēķināt izlases dispersiju, izmantojot tikai paklāju.gaidu:
Dispersija – atšķirība starp paklājiņu. nejauša lieluma kvadrāta gaidīšana un, gluži pretēji, tā paklāja kvadrāts. gaidu.
Tam ir pierādījums, taču nav jēgas to šeit izklāstīt, jo tam nav praktiskas vērtības (un mums ir tikai jāaprēķina dispersija).
Kā aprēķināt gadījuma lieluma dispersiju variāciju sērijās
Reālajā statistikā nav iespējams atspoguļot visus nejaušos lielumus (jo, rupji runājot, to parasti ir bezgalīgi daudz). Tāpēc tas, kas tiek iekļauts pētījumā, ir tā sauktais reprezentatīvs paraugs no kādas vispārējās vispārējās populācijas. Un, tā kā jebkura gadījuma lieluma skaitliskie raksturlielumi no šādas vispārējās kopas tiek aprēķināti no izlases, tos sauc par izlasi: izlases vidējo, attiecīgi, izlases dispersiju. Varat to aprēķināt tāpat kā parasto (izmantojot novirzes kvadrātā).
Tomēr šādu izkliedi sauc par neobjektīvu. Neobjektīva dispersijas formula izskatās nedaudz savādāka. Parasti tas ir jāaprēķina.
Neliels papildinājums
Vēl viens skaitlisks raksturlielums ir saistīts ar dispersiju. Tas arī kalpo, lai novērtētu, kā nejaušais mainīgais izkliedējas ap savu paklāju. cerības. Nav daudz atšķirību, kā aprēķināt dispersiju un standarta novirzi: pēdējā ir kvadrātsakne no pirmās.
